Оценка устойчивости сар по корням характеристического уравнения
Проверим устойчивость замкнутой САР по задающему воздействию по корням его характеристического уравнения:
A(s) – характеристическое уравнение САР.
Корни характеристического уравнения либо отрицательные вещественные, либо комплексные с отрицательной вещественной частью, что говорит об устойчивости системы.
Оценка устойчивости сар по критерию Михайлова
Для того, чтобы САР была устойчивой необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
- при ω = 0 годограф кривой Михайлова должен начинаться на положительной вещественной оси;
- при изменении частоты ω = 0 до ∞ годограф кривой Михайлова должен поочередно, нигде не обращаясь в ноль, в положительном (против часовой стрелки) направлении, пройти n квадрантов.
где n – порядок системы.
Построим в MathCAD годограф Михайлова:
Чтобы
построить годограф, необходимо сделать
замену
-
заменяем s
на jω
-
задаем
частоту
Рис. 8 Годограф Михайлова.
Из графика можно сделать вывод:
Годограф Михайлова, при изменении ω от 0 до ∞, проходит против часовой стрелки поочередно через 4 квадранта, что соответствует старшей степени полинома.
При ω=0 годограф Михайлова начинается на вещественной оси в точке 36.424, что соответствует значению свободного члена характеристического уравнения.
Оценка устойчивости сар по критерию Найквиста
Данный
критерий является частотным, и для
оценки устойчивости замкнутой САР
необходимо воспользоваться передаточной
функцией разомкнутой системы и, переходя
в частотный диапазон, заменяя
,
построить годограф АФЧХ разомкнутой
системы. Особенностью данного критерия
является то, что по виду годографа АФЧХ
разомкнутой системы оценивается
устойчивость САР в замкнутом состоянии.
R(s) –характеристическое уравнение разомкнутой САР
Из решения видно, что все корни являются вещественными и отрицательными, что говорит об устойчивости системы в разомкнутом состоянии.
Критерий Найквиста гласит, что если система в разомкнутом состоянии устойчивая, то для того, что бы она была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал точку с координатами [-1; j0].
Если годограф АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами [-1; j0], то система в замкнутом состоянии является не устойчивой.
Если годограф АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1; j0], то система в замкнутом состоянии является нейтральной, т.е. находится на границе устойчивости.
Заменим
Рис. 9 Годограф АФЧХ для разомкнутой системы.
Из графика видно, что годограф АФЧХ не охватывает точку с координатами [-1; j0], что говорит об устойчивости системы в замкнутом состоянии.
Оценка устойчивости сар по критерию Гурвица
Для того чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица, и главный и другие имели одинаковы знаки, как у первого коэффициента а0.
Составим определитель Гурвица по следующему алгоритму:
По главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения, от а1 до аn.
От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз.
На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
Рис.10 Правило составления определителя Гурвица.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
Обозначим через а0 – а4 коэффициенты уравнения:
а0=0,000005819
а1=0,00116
а2=0,0593
а3=2,182
а4=36,424
Из решений видно, что все определители Гурвица являются положительными, как и коэффициент а0, что говорит об устойчивости системы.