17. Пара сил.

Пара сил - это система двух равных параллельных сил, направленных в разные стороны (рис. 22).

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называют плечом пары h , а плоскость П, где лежит пара сил, является плоскостью пары. Пример: силы, действующие на стороны рамки с током в магнитном поле. На этом физическом явлении основана работа всех электродвигателей постоянного тока. Момент пары сил на плоскости (теорема о моменте пары сил) – не зависит от выбора центра приведения (полюса) и равен произведению модуля любой из сил пары на плечо пары, взятым со знаком + (плюс), если вращение плоскости под действием пары сил происходит против часовой стрелки, и со знаком – (минус) в противном случае.

В независимости момента пары от выбора полюса можно убедиться вычислением суммы моментов от каждой из сил относительно любого центра.

18. Теорема об эквивалентности пар сил.

Д ве пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пусть на тело в плоскости I действует пара (F₁,F`<sub>1</sub>) с моментом M<sub>1</sub>. Эту пару можно заменить другой парой (F<sub>2</sub>, F`₂), расположенной в плоскости II, если только ее момент М₂ равен М₁. Пло­скости I и II должны быть параллельны, в частности, они могут совпадать. Из параллельности моментов M₁, и М₂ следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам, также параллельны. Введем новую пару (F₃, F`<sub>3</sub>) и приложим ее вместе с парой (F<sub>2</sub>, F`₂) к телу, расположив обе пары в плоскости II. Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару (F₃, F`<sub>3</sub>) с мо­ментом М<sub>3</sub> так, чтобы приложенная система сил (F<sub>2</sub>, F`₂, F₃, F`₃) была уравновешена.

Предположим F₃=–F`<sub>1</sub> и F`₃=–F₁ и совместим точки при­ложения этих сил с проекциями А₁ и B₁ точек  А и В на плоскость II (см. рис. 3.10). Следует : М₃=–M₁ или, учитывая, что М₁=М₂, М₂+М₃ = 0, получим (F₂, F`<sub>2</sub>, F<sub>3</sub>, F`₃)~0. Т.о., пары (F₂, F`<sub>2</sub>) и (F<sub>3</sub>, F`₃) взаимно уравновешены и присоединение их к телу не нару­шает его состояния (аксиома 2), так что (F₁, F`<sub>1</sub>)~(F<sub>1</sub>, F`₁, F₂, F`<sub>2</sub>, F<sub>3</sub>, F`₃). С другой стороны, силы F₁ и F₃, а также F`<sub>1</sub> и F`₃ можно сло­жить по правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сторону. Они равны по модулю, поэтому их рав­нодействующие R и R' должны быть приложены в точке пересече­ния диагоналей прямоугольника ABB₁A₁, кроме того, они равны по модулю и направлены в проти­воположные стороны. Это означает, что они составляют систему, экви­валентную нулю.  Итак, (F₁, F`<sub>1</sub>, F<sub>3</sub>, F`₃)~(R, R')~0. Теперь можем записать (F₁, F`<sub>1</sub>, F<sub>2</sub>, F`₂, F₃,F`<sub>3</sub>)~(F<sub>2</sub>, F`₂). Получим (F₁, F`<sub>1</sub>)~(F<sub>2</sub>, F`₂)и т.д. . Из этой теоремы следует, что пару сил можно перемещать и поворачивать в плоскости ее действия, переносить в параллельную плоскость; в паре можно менять одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения пары и модуль ее момента (F₁h₁=F₂h₂).

19. Свойства пар сил.

Первое свойство. Пару сил нельзя привести к сил. Пара сил (как и сила) является самостоятельным элементом статики.

Под действием пары сил свободное твердое тело может только поворачиваться. Сложим две неравные параллельные силы, направленные в разные стороны (рис. 23). Добавляем к исходной системе сил (F₁,F₂) уравновешенную систему сил (Q₁,Q₂) ~ 0. По аксиоме параллелограмма, силы, приложенные в точках A и B, эквивалентны двум непараллельным силам R₁ и R₂ (рис. 23, a). Согласно следствию второй аксиомы, переносим эти силы в точку пересечения их линий действия C (рис. 23, b). Используя вторую и третью аксиомы, раскладываем силы R₁ и R₂ на составляющие , а затем вычитаем уравновешенную систему сил (Q₁,Q₂). В результате - исходная система сил эквивалентна тем же силам, но приложенным в одной точке C, то есть (F₁,F₂) = (F₁,F₂)_C . По аксиоме параллелограмма эта система, а следовательно, и исходная система сил, эквивалентна одной силе или равнодействующей:

(1)

Равнодействующая и ее линия действия CD параллельны исходным силам, а точка D лежит вне отрезка AB. При сложении двух параллельных сил, направленных в одну сторону, величина равнодействующей будет равна R* = F₁ + F₂, а точка D будет лежать внутри отрезка AB.

Второе свойство. Действие пары сил на твердое тело определяется моментом пары, который является свободным вектором, перпендикулярным плоскости пары, численно равным произведению силы на плечо пары.

(продолжение19)Выбираем в пространстве произвольный центр O (рис. 24) и вычисляем относительно этого центра сумму моментов сил, образующих пару. Эта сумму - моментом пары. Положение точек приложения сил пары относительно центра O определяется радиус-векторами r₁, r₂ и, учитывая, что F' = -F, получим :

Строим вектор BA, который определяет положение точки A относительно B, и на рис. 24 видим, что r₁ = r + BA или r₁ - r = BA. Учитывая это, из выражения (2) получаем:

(3)

Таким образом, действие пары сил на тело определяется ее моментом, который является мерой действия пары сил на твердое тело. Момент пары не зависит от выбора центра, то есть является свободным вектором. Величину момента пары найдем, определяя модуль векторного произведения в (3), учитывая (рис. 24), что BA sin(BA ^ F) = h:

Приняв за центр O последовательно точки приложения сил A и B, по формуле (2) имеем :

Следствия из второго свойства пары. 1. Действие пары на твердое тело не изменяется, если пару сил поворачивают в плоскости пары. 2. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если пару сил переносят в другое место плоскости пары. 3. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если ее перенести в плоскость, параллельную плоскости пары. В плоской системе сил, когда все силы и пары сил лежат в одной плоскости, моменты пар направлены перпендикулярно этой плоскости и поэтому параллельны друг другу, в этом случае, момент пары рассматривают как алгебраическую величину, равную

(6)

2 0. Сложение пар сил в пространстве и плоскости.Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей. Теорема: Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент,равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар. Пусть на тело действуют три пары сил с моментами . Используя теорему об эквивалентности пар, заменяем эти пары эквивалентными другими парами ,имеющими общее плечо d и такие же моменты Сложив отдельно силы получим: Вся система заменится одной парой с моментом Обобщая эту формулу , получим: Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю:

При сложении пар в пространстве достаточно будет рассмотреть две пары. Теорема: Любая система пар, действующая на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар. Итак, пусть даны две пары с моментами m1 и m2, лежащие в плоскостях I и II . Складываем силы в точках А и В: и убеждаемся, что пары заменяются одной парой . Найдем момент этой пары:

Если на тело действует л пар с моментами , то:

Геометрически вектор - это замыкающий вектор силового многоугольника. Если векторы л ежат в разных плоскостях, то можно ввести систему координат Oxyz и находить аналитически: