9.3. Количественная оценка тесноты связи между факторами

Корреляционная таблица, поле корреляции и эмпирическая линия связи позволяют предварительно выявить наличие или отсутствие корреляционной связи между признаками. Для количественной оценки тесноты связи между признаками используют различные показатели. Рассмотрим основные из них.

1. Коэффициент корреляции r_ху выражает степень тесноты линейной связи между двумя количественными показателями X и Y.

По выборочным данным коэффициент корреляции вычисляется по следующей формуле:

,

где п – объем выборки; - выборочные средние; .

Свойства коэффициента корреляции:

1) .

2) .

3) Если имеем уравнения регрессии

,

то .

4) Если , то Y и X точно связаны линейной функциональной зависимостью. В этом случае все точки находятся на прямой и все точки – на прямой .

5) Если r_xy = 0, то между Y и Х нет линейной корреляционной зависимости, но равенство r_xy = 0 не исключает существования какого-либо другого вида корреляционной зависимости (например, параболической, показательной и др.).

6) Чем больше , тем теснее связь между X и Y. При этом связь сильная, если ; связь умеренная, если ; связь слабая, если ; связь практически отсутствует при .

7) Если r_xy > 0, то имеем прямую корреляционную связь; если r_xy < 0, то имеем обратную корреляцию.

Возвращаясь к примеру, рассчитаем по данным табл. 8.4 коэффициент корреляции. Получим r_xy = 0,81, что свидетельствует о прямой и сильной линейной корреляционной связи между величинами X и Y. Коэффициент корреляции можно вычислить и по данным корреляционной таблицы.

2. Корреляционное отношение применяется для оценки тесноты нелинейной связи между случайными величинами X и Y. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения.

На основе данных корреляционной таблицы 8.3 можно вычислить следующие величины:

– объем выборки;

– такое число раз встречалось значение х_i;

– такое число раз встречалось значение у_j;

– средние значения величин Y и X;

– дисперсии;

- среднее значение Y при фиксированном x_i (среднее по i-ой строке);

– среднее значение Х при фиксированном у_j (среднее по j-ому столбцу);

– межгрупповая дисперсия;

- остаточная дисперсия;

– общая дисперсия.

Эмпирическое корреляционное отношение η_ху вычисляется по формуле

.

Свойства корреляционного отношения:

1) .

2) Если η_ху = 1, то между X и Y существует функциональная связь; если η_ху = 0, то X и Y являются независимыми величинами.

3) η_ху ≥ r_xy.

4) Если η_ху = r_xy, то связь между X и Y является линейной.

Вычислим эмпирическое корреляционное отношение для рассматриваемого примера. Получим η_ху = 0,82. Видим, что η_ху незначительно больше r_ху = 0,81.

Следует отметить, что вычисление корреляционного отношения возможно при наличии достаточно большого числа данных, которые представлены либо в форме корреляционной таблицы, либо первичными данными. Вычисление корреляционного отношения при большом числе групп и малом числе наблюдений в каждой группе лишается смысла.

При проверке возможности использования линейной функции в качестве формы уравнения регрессии определяют разность η² - r². Если эта разность менее 0,1, то считается возможным применять линейные уравнения корреляционной зависимости.

В нашем примере

η² - r² = 0,82² – 0,81² < 0,1.

Следовательно, при построении уравнения регрессии можно использовать линейную функцию.

Теоретическое корреляционное отношение вычисляется по той же формуле, что и эмпирическое корреляционное отношение. Но при расчете используются не групповые средние , а значения результативного признака Y, вычисленные по уравнению регрессии при х = х_i. Фактически оценивает степень близости кривой регрессии к имеющимся данным.

3. Коэффициент детерминации K_d есть квадрат коэффициента корреляции (для линейной связи) или квадрат корреляционного отношения (для нелинейной зависимости):

.