6.2. Статистические показатели динамики
В основе расчета статистических показателей ряда динамики лежит сравнение его уровней. В зависимости от применяемого способа сопоставления уровней показатели динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения.
Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. Исчисляемые при этом показатели называются базисными.
Для расчета показателей динамики на переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели динамики называются цепными.
Абсолютный
прирост
показывает, на сколько единиц увеличился
(или уменьшился) анализируемый уровень
ряда
относительно базисного уровня
(по базисной схеме) или предшествующего
уровня
(по цепной схеме).
Базисный абсолютный прирост определяют по формуле
.
Цепной абсолютный прирост вычисляют по формуле
.
Абсолютный прирост может иметь как положительный, так и отрицательный знаки.
Темп
роста
показывает, во сколько раз анализируемый
уровень ряда увеличился по сравнению
с уровнем, принятым за базу сравнения
(по базисной схеме), или предшествующим
уровнем (по цепной схеме). Темп роста
может выражаться в виде коэффициента
или в процентах.
Базисный темп роста определяется по формуле
,
а цепной темп роста – по формуле
.
Темп роста всегда имеет положительный знак.
Темп
прироста
характеризует абсолютный прирост в
относительных величинах. Темп прироста
может выражаться в виде коэффициента
или в процентах. Исчисленный в процентах
темп прироста показывает, на сколько
процентов изменился сравниваемый
уровень с уровнем, принятым за базу
сравнения.
Базисный темп прироста вычисляется (в процентах) по формуле
,
а цепной темп прироста – по формуле
.
Между темпом прироста и темпом роста существует взаимосвязь:
(при
выражении
и
в процентах);
(при
выражении
и
в коэффициентах).
Для получения обобщающих показателей динамики вводятся средние величины.
Средний
уровень ряда динамики
характеризует типическую величину всех
уровней ряда.
Для интервальных рядов динамики средний уровень ряда определяется по формуле
,
где – число членов ряда динамики (число уровней).
В случае моментного ряда средний уровень ряда находится с помощью средней хронологической.
Для моментного ряда динамики с неравноотстоящими моментами времени средний уровень ряда находится по формуле
.
Для моментного ряда динамики с равноотстоящими моментами времени величина определяется следующим образом:
.
Средний
абсолютный прирост
представляет собой обобщенную
характеристику цепных абсолютных
приростов ряда динамики. Имеем формулу
,
где .
Несложно преобразовать последнюю формулу к виду
.
Средний
темп роста
– обобщающая характеристика индивидуальных
темпов роста ряда динамики. Средний
темп роста рассчитывается как средняя
геометрическая цепных коэффициентов
роста:
.
Средний коэффициент роста может выражаться не только в виде коэффициента, но и в процентах.
Средний
темп прироста
можно определить по формулам:
(при
выражении
и
в коэффициентах);
(при
выражении
и
в процентах).
Литература
Общая теория статистики / Под ред. Спирина А.А., Башиной О.Э. - М.: Финансы и статистика, 1999.
Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. - М.: ИНФРА, 1998.
Правовая статистика / Под ред. Казанцева С.Я., Лебедева С.Я. – М.: ЮНИТИ. 2008.
Лекция 7
Моделирование динамических рядов
План лекции
1. Основные типы факторов, формирующие динамический ряд.
2. Аддитивная модель ряда.
3. Мультипликативная модель ряда.
4. Выделение неслучайной составляющей динамического ряда. 5. Сглаживание ряда динамики.
6. Метод укрупнение интервалов.
7. Метод аналитического выравнивания.
7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
7.1. Выявление структуры временных рядов
Уровни
динамического ряда
можно описать некоторой функцией времени
.
Каждый
уровень
временного ряда формируется под
воздействием большого числа факторов,
которые условно можно подразделить на
три группы:
1)
факторы, формирующие тенденцию
ряда
;
2)
факторы, формирующие циклические
колебания
ряда
;
3)
случайные
факторы
.
При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы.
Большинство временных рядов юридических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности постоянно действующие факторы оказывают на изучаемый показатель определяющее влияние и формируют основную тенденцию развития (тренд). Эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функцией времени , называемой трендом.
Изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям (повторяемым во времени). Эти колебания могут носить сезонный характер, так как ряд юридических показателей зависит от времени года (например, уровень преступности в курортных городах в летний период выше по сравнению с зимним).
При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой изучаемого юридического явления. Результат действия сезонных факторов описывается неслучайной периодической функцией времени .
Некоторые ряды не содержат тенденции и циклической компоненты. Каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой случайной составляющей.
Случайную
составляющую имеют все динамические
ряды. Воздействие случайных факторов
на формирование уровней ряда обусловливает
необходимость интерпретации уровней
ряда
как наблюдений, произведенных над
случайной величиной
.
Результат воздействия случайных факторов
описывается случайной функцией времени
.
Реальные юридические показатели (ряды) часто содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.
В большинстве случаев фактический уровень динамического ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайных составляющих ряда.
Модель, в которой временной ряд представлен как сумма трендовой, циклической и случайной составляющих, называется аддитивной моделью временного ряда:
.
Мультипликативная модель временного ряда – модель, в которой временной ряд представлен как произведение трендовой, циклической и случайной составляющих:
.
Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель динамического ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или убывает, строят мультипликативную модель ряда динамики, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Основная задача исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше составляющих с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.
Автокорреляция
уровней ряда
– это корреляционная зависимость между
последовательными уровнями временного
ряда. Количественно ее можно измерить
с помощью линейного коэффициента
корреляции между уровнями исходного
временного ряда и уровнями этого ряда,
сдвинутыми на несколько (
)
шагов во времени.
Коэффициент
автокорреляции уровней ряда
порядка τ
измеряет зависимость между уровнями
ряда
и
:
,
где
Число периодов τ, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.
Коэффициент
автокорреляции уровней ряда первого
порядка измеряет зависимость между
соседними уровнями ряда
и
,
то есть при лаге
.
С
увеличением лага число пар значений,
по которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, уменьшается. Для
обеспечения статистической достоверности
коэффициентов автокорреляции можно
использовать правило: максимальный лаг
должен быть не больше (
).