5.4. Расчет дисперсии качественных и количественных признаков

Варьируемые признаки могут быть качественными (вид преступления, содержание мотива и т.д.) и количественными (возраст правонарушителей, повторность совершения преступления, сроки рассмотрения дел и т.д.). Расчет дисперсии качественного и количественного признаков проводится по разным формулам.

Колеблемость качественного признака двухварианта: совершено преступление против собственности или иное, в состоянии опьянения правонарушителя или трезвым субъектом, по мотиву мести или иным побуждениям и т.д. Указанная двухвариантность отражается в таких относительных показателях, как удельный вес или доля признака в общей структуре изученных явлений. Например, в 1996 г. удельный вес хулиганства составлял 6 % (или 0,06), а иных преступлений – 94 % (или 0,94); преступлений, совершенных в состоянии опьянения – 36 % (0,36), а в трезвом состоянии – 64 % (0,64).

Если удельный вес какого-то качественного (атрибутивного) признака неизвестен и нет возможности его узнать, то исследуемая совокупность по этому признаку условно принимается максимально неоднородной. В этом случае искомый удельный вес берется равным 50 % (или 0,5).

При наличии удельного веса качественного признака его дисперсия рассчитывается по следующей формуле:

,

где – доля качественного признака, а – доля иных признаков или противоположного признака.

Дисперсия качественного признака не может быть больше 0,25. Самое большое значение дисперсии будет достигаться при =0,5: =0,5(1–0,5)=0,25.

Все другие удельные веса дают меньшую дисперсию, так как совокупность в этих случаях становиться более однородной (в ней будет преобладать доля самого признака или доля иных признаков). Таким образом, самая неоднородная совокупность по качественному признаку бывает тогда, когда его удельный вес равен 50 % (или 0,5).

Дисперсия количественного признака рассчитывается по формуле

.

5.5. Определение ошибки выборки и объема выборки

При выборочном наблюдении регистрируется только часть единиц генеральной совокупности. Эта часть должна быть репрезентативной, то есть достаточно верно отражать содержание и закономерности изучаемого явления.

Под репрезентативностью выборки понимается свойство выборочной совокупности воспроизводить характеристики генеральной совокупности.

Разность между соответствующими характеристиками генеральной и выборочной совокупностей называют ошибкой репрезентативности или ошибкой выборки.

Аналогично определяются ошибки выборки для количественного признака.

Ошибки выборки бывают тенденциозными (систематическими) и случайными.

Тенденциозные ошибки возникают тогда, когда исследователь неправильно сформировал выборку. Например, при изучении правосознания граждан были опрошены только студенты-юристы. Полученные данные, очевидно, не отражают правовых взглядов всех граждан. Тенденциозные ошибки невозможно измерить. Они будут тем меньше, чем выше квалификация исследователя.

Случайные ошибки обусловлены неполнотой изучения генеральной совокупности. Случайные ошибки являются непреднамеренными неточностями статистического наблюдения. Они – результат случайностей при формировании выборки. При большом объеме выборки случайные ошибки в значительной степени взавимопогашаются. Различия между соответствующими характеристиками генеральной совокупности и выборки можно относительно точно измерить.

Чтобы избежать тенденциозных ошибок, необходимо строго соблюдать правила случайного отбора единиц выборочной совокупности. Случайных ошибок избежать нельзя, но их можно уменьшить путем увеличения объема выборки и дать им оценку.

Различают среднюю и предельную Δ ошибки выборки.

Формулы для вычисления средней ошибки выборки имеют различный вид при повторной выборке и выборке бесповторной.

Для повторной выборки средняя ошибка выборки вычисляется по формуле

или ,

а для бесповторной выборки –

или .

Здесь – объем выборки; – объем генеральной совокупности; – выборочная дисперсия; σ – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Средняя ошибка выборки будет тем меньше, чем меньше дисперсия (среднее квадратическое отклонение) и чем больше объем выборки. Если исследование уже проведено, то объем выборки известен.

Заметим, что репрезентативность выборки практически не зависит от объема генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности может быть даже неизвестен исследователю.

Сравнивая формулы расчета средней ошибки выборки для повторной и бесповторной выборок, заключаем, что во втором случае ошибка выборки уменьшается при прочих равных условиях. Поэтому, если исследователю неизвестен объем генеральной совокупности, а выборка является бесповторной, то можно рассчитывать ошибку выборки по формуле для повторной выборки. Незначительной неточностью можно пренебречь.

В юридической статистике часто встречаемся с количественными признаками изучаемых явлений, распределенных по нормальному закону. Известно, что если случайная величина распределена по нормальному закону, то с вероятностью 0,997 результат любого ее единичного измерения лежит в пределах , с вероятностью 0,954 – в пределах , с вероятностью 0,683 – в пределах .

Эта закономерность используется для установления коэффициента доверия (коэффициент кратности ошибки выборки) .

Вероятность отклонения изучаемого признака, как количественного, так и качественного, в пределах однократной ошибки выборки, то есть при =1, равна 0,683. Это означает, что из 1000 изучаемых единиц совокупности 683 будут находиться в пределах однократной ошибки выборки . При коэффициенте доверия = 2 вероятность того, что наблюдаемые значения признака попадут в интервал , равна 0,954, то есть из 1000 изучаемых единиц 954 будут находиться в пределах двукратной ошибки выборки. При =3 из 1000 изучаемых единиц 997 будут находиться в пределах трехкратной ошибки.

Увеличение коэффициента доверия повышает репрезентативность выборки через увеличение объема выборочной совокупности (с целью уменьшения ошибки выборки).

При криминологических, социально-правовых исследованиях обычно допустима точность с коэффициентом доверия =1. При решении важных научных и практических задач коэффициент доверия выбирается равным =2. Исследования с коэффициентом доверия =3 в юридической статистике практически нигде не требуются.

Помимо средних ошибок выборки в статистике рассматривают предельные ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки Δ определяется по формуле

Δ = ,

где средняя ошибка выборки для качественных и количественных признаков для разных методов выборки вычисляется по формулам, приведенным выше.

Заметим, что при =1 имеем Δ = .

При применении выборочного метода для получения достоверных данных о генеральной совокупности сталкиваемся с проблемой определения объема выборочной совокупности. Объем выборки определяется исходя из заданных и наличных показателей. Заданными показателями являются ошибки выборки или Δ, коэффициент доверия , а наличными – дисперсия (или среднее квадратическое отклонение σ) изучаемого признака и в некоторых случаях объем генеральной совокупности .

При повторной выборке из формулы (для качественного признака)

следует

,

а из формулы (для количественного признака)

получаем

.

В юридической статистике, как правило, используют бесповоротный способ выборки. В этом случае из формул

и

соответственно для качественного и количественного признаков находим

и .

Предельная ошибка выборки Δ для заданной (произвольной) вероятности связана с ошибкой выборки соотношением

,

где , – функция Лапласа.

При этом с вероятностью выполняются соотношения:

где и - соответствующие параметры генеральной и выборочной совокупности.

Таким образом, расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить пределы, в которых будут находится характеристики генеральной совокупности.

Если при разработке плана выборочного наблюдения предполагают заранее заданными величину допустимой ошибки выборки Δ и необходимую вероятность (достоверность) ответа , то неизвестным, следовательно, остается тот минимальный объем выборки, который должен обеспечить требуемую точность.

Из формулы предельной ошибки выборки Δ и формул для средних ошибок выборки (с учетом способа отбора) можно установить необходимую численность выборки .

Литература

1. Толоконников Л.А. Основы юридической статистики. – Тула: Лань, 2009.

Общая теория статистики / Под ред. Спирина А.А., Башиной О.Э. - М.: Финансы и статистика, 1999.

Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. - М.: ИНФРА, 1998.

Лекция 6

Ряды динамики

План лекции

1. Понятие о рядах динамики. Показатель времени и уровень ряда.

2. Моментные и интервальные ряды динамики.

3. Смыкание рядов динамики.

4. Статистические показатели динамики (базисные и цепные).

5. Абсолютный прирост.

6. Темп роста.

7. Темп прироста.

8. Средний уровень ряда.

9. Средний абсолютный прирост.

10. Средний темп роста.

6. РЯДЫ ДИНАМИКИ

6.1. Основные элементы и структура временного ряда

Ряд динамики (временной ряд. динамический ряд) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (или периодов) времени.

Временной ряд отображает развитие изучаемого явления во времени.

Каждый ряд динамики содержит два элемента:

1) показатель времени ;

2) уровень ряда .

Уровнем ряда называют значения изучаемого показателя, образующие ряд динамики.

Рассмотренный выше динамический ряд является одномерным. Если фиксируются данные, характеризующие совокупность различных показателей в определенный момент (период) времени, то имеем пространственный динамический ряд.

Ниже будем рассматривать одномерные временные ряды.

В зависимости от вида приводимых в динамических ряда обобщающих показателей их делят на ряды динамики абсолютных, относительных и средних величин.

По признаку времени ряды динамики подразделяют на моментные и интервальные.

Моментный ряд динамики – это ряд, который образуют показатели, характеризующие состояние явления на определенные моменты времени.

Интервальный ряд динамики – ряд, который образуют показатели, характеризующие явление за отдельные периоды времени.

Особенностью моментного ряда является то, что его уровни, раскрывая развитие явления во времени, не могут суммироваться или укрупняться. Дело в том, что в разные уровни ряда могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Например, число сотрудников фирмы на 1 января данного года нельзя суммировать с числом сотрудников на 1 июля, то есть на начало второго полугодия этого года, поскольку это могут быть одни и те же штатные единицы.

В моментном ряду интервал – это промежуток времени между датами учета сведений, а в интервальном ряду интервал – это тот же промежуток времени, но за который обобщены приводимые сведения, когда они накапливаются. В моментном ряду величина уровня ряда не зависит от размера интервала, а в интервальном ряду существенно зависит.

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Поэтому месячные данные можно суммировать по кварталам, квартальные – по годам и т.д. Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получать ряды динамики более укрупненных периодов. Интервальные ряды отражают сведения, которые характеризуются накопительностью (например, количество правонарушений).

На основе рядов динамики абсолютных величин в моментном и интервальном рядах могут быть получены ряды динамики относительных и средних величин, что многократно увеличивает аналитические возможности динамических рядов.

Основное требование к рядам динамики – это сопоставимость их уровней по содержанию учитываемых явлений, единицам измерения, отрезку времени учета, территории, полноте охвата и другим параметрам.

В тех случаях, когда вначале имеем уровни ряда, исчисляемые по одной методологии или в одних границах, а затем уровни ряда, исчисляемые по другой методологии или в других границах, то уровни ряда динамики оказываются несопоставимы между собой. Чтобы привести уровни ряда к сопоставимому, годному для анализа виду, необходимо применить прием, который называют смыканием рядов динамики.

Вопрос о смыкании динамических рядов имеет особую актуальность в юридической статистике. Изменение законодательства, принципов и форм учета часто не позволяет иметь единый ряд сопоставимых уровней. Например, ряд динамики тяжких преступлений за 1991-2000 годы не может быть непосредственно составлен по имеющимся статистическим данным, так как эти данные несопоставимы. Дело в том, что перечень тяжких преступлений в уголовном кодексе России изменялся и в 1994 г., и в 1997 г.

Покажем, как можно осуществить смыкание рядов динамики на конкретном примере.

Пример Имеются данные о тяжких преступлениях, совершенных в 1991-1996 гг. в городе N.

Показатели	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Число тяжких преступлений: старый перечень новый перечень	52	60	78	80 150	155	167
Сомкнутый ряд	97,5	112,5	146,25	150	155	167

Привести ряды динамики к сопоставимому виду.

Решение. В таблице имеем фактически два ряда: один (1991-1994 гг.) – по старому перечню тяжких преступлений, другой (1994-1996 гг.) – по новому, расширенному.

Для получения сомкнутого ряда определим коэффициент пересчета уровней в 1994 г., когда произошло изменение перечня тяжких преступлений: . Умножая на этот коэффициент уровни ряда, расположенные левее данных 1994 г., приводим их к сопоставимым уровням (третья строка табл.).

Таким образом, получили сомкнутый ряд динамики, который более или менее точно раскрывает тенденцию роста тяжких преступлений за 1991 – 1996 гг. Данные сопоставимого ряда могут быть использованы для расчёта аналитических показателей ряда динамики.

Анализ рядов динамики юридически значимых явлений за длительный период времени дает возможность понять их развитие в прошлом, настоящем и предсказать в будущем, оценить эффективность деятельности юридических учреждений и спланировать ее на перспективу.

С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития юридических явлений осуществляется в следующих основных направлениях:

1) характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени;

2) измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей;

3) выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда);

4) изучение периодических колебаний;

5) экстраполяция и прогнозирование.