2. Интеграл Римана и его свойства.

Опр. Криволинейной трапецией будем называть плоскую фигуру, ограниченную на отрезке [a,b] в пл-ти XOY графиком непрерывной ф-ции y=f(x), принимаемой на этом отрезке лишь неотрицательные значения и прямыми x=a, x=b, y=0.

Рассмотрим произведение разбиения отрезка [a,b] на n частей: a=x0<x1<…<xn=b. Длина частичного отрезка , xi=xi-x_i-1 , _= . На каждом частичном отрезке выберем точку i. Вычислим f(i). Построим прямоугольник, основанием которого явл частичный отрезок высотой f(i). Получим ступенчатую фигуру. Её площадь будет равна сумме постр-х частичных прямоугольников, _= . Площадь частичного прям-ка равна Si=f(i)xi Составим сумму вида: i=f(i)xi. Она явл приближенным значением площади рассматриваемой криволинейной трапеции. Для получения точного значения S крив-й трап-и перейдем к lim при 0 в последней сумме.  не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части и выбора точек

i[x_i-1,xi].

Задача о работе переменной силы Определенный интеграл: Пусть ф-ция f(x) задана на отрезке [a,b]. Рассмотрим  разбиение  этого отрезка на n частей: . Выберем произвольн i[x(i-1),xi] и вычислим f(i). Составим сумму вида := , которые будем называть интегралом или суммами Римана. Если  конечный предел  при 0,который не зависит от способа разбиения [a,b] на части и от выбора точек i , то его будем называть определенным интегралом от ф-ции f(x) на [a,b], т.е.

Опр1. Число I называют ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ f(x) на [a,b], если >0 >0  , для которого r< и для _i[x_i-1,x_i] !_i-I!<

Опр2. (на языке послед) Число I называют ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ f(x) на [a,b], если  , для которой r0,n+ и для _i[x_i-1,x_i]  конечный предел последовательности _r при n+ и он равен I.

Замечание: Из 1-й задачи получаем геометрический смысл производной (S= ); из2-й механический(А= ) -работа переменной силы.

Т (Необходимое условие интегрируемости ф-ции на отрезке): Если f(x) интегрируема на [a,b], то она ограничена на нем. Рассмотрим ф-цию Дирихле на [a,b] !D(x)!M – ф-ция ограничена, но из того не следует её интегрируемость (Данное условие не явл достаточным).

Критерий интегрируемости ф-ции на отрезке: Ф-ция f(x), определенная и ограниченая на [a,b] интегрируема на нем, когда

Теор: Если f(x) непрерывна на [a,b] , то она интегрируема на нем.

Теор: Если f(x) монотонна на [a,b] , то она интегрируема на нем.

Основные св-ва определенного интеграла:

1.Если ,то

2.

3.(Св-во линейности) Если

4.(Св-во интегрирования) Если

5.(Св-во аддитивности) Если

6.Если ,x[a,b], f(x)0 , то

7.Если ,x[a,b], f(x)g(x), то

8.Если ,

9.Если ф-ции f(x),g(x) интегрируемы на [a,b], g(x)>=0, M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)}(x[a,b]), то

2. Приложения интеграла Римана.

1.Если функция [a,b] непрерывна на отрезке[a,b] то криволинейной трапецией Ф наз. множество Ф= {(x,y)  / a≤x≤b, 0≤y≤f(x) } и площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

2. Площадь криволинейного сектора. Криволинейным сектором в полярной системе координат называется множество Ф= {(r,φ)  ²/ 0≤r≤ρ(φ), φ1≤φ2) } ,где функция [ ]непрерывна на . Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле .

3. Объём тела вращения. Если криволинейная трапеция Ф= {(x,y)  ²/ a≤x≤b, 0≤y≤f(x) } где f C([a,b])вращается вокруг оси то объём V образованного тела вращения вычисляется по формуле

4. Объём тела по известным поперечным сечениям. Если для некоторого тела T известны площади всех его поперечных сечений вдоль некоторой числовой прямой которые задаются непрерывной функцией ],то объём данного тела находится по формуле

5. Длина дуги гладкой кривой. Множество называется простой гладкой кривой (траекторией), если существует отображение , где { } . .

При этом отображение называется параметрическим изображением кривой Длина этой кривой может быть найдена по формуле

6. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой заданной параметрически , y= осью абсцисс и прямыми и x=a и x=b, равна ,где и определяются из уравнений ри .

7. Объем тела, полученный вращением криволинейной трапеции Ф= {(x,y)  ²/ a≤x≤b, 0≤y≤f(x) } вокруг оси ординат , равен .