2. Приложения дифференциального исчисления к исследованию ф-ции.

Одним из важн прил дифф исчисления является иссл ф-ции с целью построения ее графика.

Опр. Ф-ция у=f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при х₂>х₁, f(x₂)>f(х₁), и убывающей, если f(x₂)<f(х₁).

Достаточные признаки возрастания и убывания ф-ции: -если ф-ция f(x)в каждой точке интерв (a,b) имеет положительную произв, то сама ф-ция в этом интервале возрастает; -если ф-ция f(x) в каждой точке инт (a,b) имеет отриц производную, то ф-ция в этом интервале убывает.

Опр. Ф-ция у=f(x) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке х=х₀, если f(x₀) явл наибольшим или наименьшим значением ф-ции в некоторой окрестности этой точки.

Необходимое условие экстремума функции:-Если ф-ция у=f(x) имеет экстремум в точке х=х₀, то ее производная в этой точке равна нулю, либо не существует.

Значения аргумента, при которых ф-ция f(x) сохр непр-сть, а ее произв f'(x) обращается в нуль или не существует, называются стационарными или критическими точками.

Первый достаточный признак экстремума ф-ции: Если ф-ция у=f(x) дифф-ма в окрестности стационарной точки х₀ и ее произв слева от этой точки положительная, а справа отриц, то в точке х₀ ф-ция достигает максимума; если произв слева от стационарной точки х₀ отриц, а справа – полож, то в точке х₀ ф-ция достигает минимума; если производная слева и справа от стационарной точки х₀ имеет одинаковый знак, то в этой точке ф-ция экстремума не имеет.

Второй достаточный признак экстремума:Если в стационарной точке х₀ вторая произвотлична от нулю, то в этой точке ф-ция у=f(x) имеет максимум при f''(x₀)<0 и минимум при f''(x₀)>0.

Опр. Кривая у=f(x) наз выпуклой на интервале (a,b ), если при a<x<b она расположена ниже касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b).

Опр. Кривая у=f(x) называется вогнутой на интервале (a,b ), если при a<x<b она расположена выше касательной, проведенной в любой точке интервала (a,b).

Опр. Точки, отделяющие выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой (или наоборот), называются точками перегиба кривой.

Признаки выпуклости и вогнутости кривой.: -Если 2-я произв ф-ции y''(x) полож во всех точках инт (a,b), то на этом интервале график ф-ции является вогнутым.-Если 2-япроизвф-ции y''(x) отриц во всех точках инт (a,b), то на этом инт график ф-ции является выпуклым.

Опр. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

Если или , то прямая х=а явл вертик-й асимптотой кривой у =f(x).

Прямая у=b явл гориз-ной асимп кривой у=f(x), если сущ предел или .

Если сущ пределы , то прямая у=kx+b есть наклонная асимптота кривой у=f(x).

Для построения графика ф-ции ее можно исследовать по следующей схеме:

1. Найти область определения ф-ции, интервалы непрерывности и точки разрыва ф-ции. Найти вертикальные асимптоты, исследуя изменение ф-ции при х, стремящемся к точкам разрыва ф-ции.

2. Исследовать ф-цию на четность, нечетность, периодичность.

3. Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания ф-ции. Вычислить значения экстремумов.

4. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, найти точки перегиба.

5. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты кривой (если они существуют). Найти точки пересечения кривой с осями координат (если они существуют).