2. Методика изучения площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

Большинство авторов определяют пов-ть как границу тела. Пов-ть многогр. составл. многоуг., площадь кот. уч-ся умеют находить из курса планиметрии. В связи с этим площадь многогр. изуч. параллельно с рассм. их разл. видов и определяются как суммы площадей ее бок.граней. Отдельно д-ся теоремы об Sбок. прямой призмы (Росн.*Н) и прав. пирамиды(1/2 Росн. *Нбок.грани).В уч. существует 2 подхода к введен.Sцил. и Sкон.: 1)Развернуть пов-ти цилиндра и конуса. Цил. разверн. получится прям-ник. ширина прям-ника = Н цилиндра, а длина = 2ПR(т.к.в основан.цил. – окр.).Получ. Sб.ц.=2ПRН. Развернув конус получим сектор. Sсект.=(ПL²/360)*ʆ; ʆ=360R/L; Sб.к.=Sсект. =ПLR. 2)Связан с теорией пределов.Наиболее простым здесь явл. Подход связан с теорией пределов, кот. определяется как число к кот. ->бок.пов-ть соотв. фигур (прав.призмы и пирамиды, впис. и опис. около них, при неогранич. увеличен.сторон многоуг.лежащ. в основан.). Методика: 1)актуализир. знан. из 9кл.о длине окр. За С принимается число к кот.->Р впис. в окр. прав. п-угольник при неогр. увеличен. числа его сторон 2)выяснить(на интуит. уровне)какое тело удобно впис. в цил.(призму), показ. модель, вписать в цил призму;3)акцентир. вниман., в каком случ. бок. пов-ть призмы будет достат. близка к бок. пов-ти цил.(число сторон увелич.); 4)показать рис., где в цил. впис. 3,4,12-угольн. призма;5)для вывода ф-лы вызвать ученика: Sб.прям.призмы=Росн.*Н; Росн.->С=2ПR; Sб.ц.= 2ПRН. Аналог. Sбок. конуса, только впис. прав. пирамида. Самый сложный вопр. определ.сф. т.к. нельзя развернуть.Возможен практич. подход:рассм. полусф., берем веревку и вмещаем по кругу основания и по бок пов-ти полусф. до их заполнен. Окажется, что длина 2-й веревки в 2 раза больше, т.е.Sбок. полусф.=2 Sкруга=2ПR²; Sсф.=4ПR². В уч. Шлыкова сф.определяется как пов-ть получ. в рез-те поворота на 360 полуокр. вокруг диам. прямой. Вывод ф-лы Sсф. проходит в 3 этапа: 1)док-ся теорема, кот.дает возможн. по др. находить Sбок.конуса, усеч. конуса, цил.(Т.:Sб. пов-ти конуса, усеч. конуса, цил. =произведению высоты соотв. тела на длину окр., радиус кот. есть перпендикуляр, проведен. с серед. образующ. до пересечен. с осью тела);2)д-ть, что если в сф. впис. ломанную(кажд.звено ломаной при вращен. образ. бок.пов-ть конуса, Vусеч. конуса, Vцил.), то Sбок.=2ПRН; 3)Сф. разделить на 2 части сек. пл-тью, фактич.в кажд. часть можно вписать ломан. Sсф.=2ПRН₁+2ПRН₂=2ПR(Н₁+Н₂)= 2ПR*2R=4ПR².

С понят. объма впервые встреч. в 5 кл., но определен. не давалось; вводилось понятие единичн. куба, как куба с ребром = единице измерения длины; объем единичного куба принимали за единицу измерения объемов.Выводится ф-ла объема прямоу-ка и куба. Св-ва объемов не формулир.В 8 кл. дается понятие и формулир. аксиомы площади. Содержан матер. в 11 кл.: понятие объема, цилиндра, конуса, шара. В прогр. рекоменд. понят. об объеме и основн. св-вах давать на ознакомит. уровне, но ф-лы знать и примен. их при реш. зад. Перед введен.понят. объема можно принести модель прямоуг., разбитого на единичн. квадраты и попросить найти его площадь(подсчетом). С пом. наводящих вопр. ученики должны сформулир. св-ва площади.Сказать им, что понят. и св-ва объема выводятся аналог. Рассм. прямоуг. параллелеп., разбитый на кубики и формулир. понят и св-ва V: V – это положит. величина, числов. значен. кот. обладает след. св-вами: - равные геом. тела имеют равные V; - если геом. тело явл. объединением тел, не имеющ. общих внутренних тел, то его V = сумме V-ов тел его составляющих; - V куба, ребро кот. = ед.измерен. длины = единице. Нужно пояснить, почему к выводу известной ф-лы V прямоуг. параллелеп. возвр. в 11 кл.(она была получ., когда измерения были натур.числами).Теперь есть 3 случая:1) а,в,с принадлеж. натур.числам; 2)а,в,с рацион.числа; 3)хотя бы одно из измерен. явл. иррац. числом. Материал дается на ознакомит уровне.Сложность получен. ф-л V для др.видов многогр. связана с доп. построен., на кот. уходит много времени.Лучше использов. модели. Необход.обратить внимание на своебразие вывода ф-лы V наклон. параллелеп.а)рассм. параллелогр. у кот.2 противолежащ. бок. грани перпендикулярны пл-ти основан.; б)через 2 ребра основания провод. пл-ти перпендикулярные пл-тям оснований. V призмы изуч. в след порядке:V треуг.пр.-> V произв. пр.(прямой как частный случай). В 1-м случ. призму достраивают до параллелепипеда кот. диагон. сечен. делится на 2 равновелик.призмы,т.к. они при центр. симметр. относит. т. пересечен. диагоналей преобраз. одна в другую.Более сложной явл. вывод ф-лы V пирамиды.Уч-ся поним., что ее необход. достроить до призмы.Для простоты выбираем треуг. пирамиду.Получ., призму необход. разбить на пирамиды, причем необходимо показать, что они имеют равные V.В уч. пос. Шл. д-ся теорема: 2 треуг. пирам. с равными высотами и площадями оснований имеют равные V. Для иллюстрац. получен. ф-лы Vпир.=1/3 Sосн.*h нужна модель. Для нахожден.V цилиндра и конуса использ. прием аналог. нахожден. их площадей пов-тей: в цилиндр впис. прав.призма, в конус – прав. пирамида.При неогранич. увеличен. числа сторон основан. соотв. многогр. Sосн.->ПR² , поэтому V цил = ПR²H, V кон = 1/3 ПR²H. Ф-ла V шара дается в готовом виде, т.к. ее вывод связан с рядом проблем.Наиб. доступным явл. способ с пом. интеграла.V=ʃ^a_b Пf²(х)dx, y²=R² - x².