- •Ограниченные числовые множества. Существование точных граней.
- •Предел числовой последовательности.
- •Существование предела последовательности.
- •Предел функции в точке.
- •Основные теоремы о пределах.
- •Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
- •Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •Приложения дифференциального исчисления к исследованию ф-ции.
- •Интеграл Римана и его свойства.
- •Приложения интеграла Римана.
- •Дифференцирование функций многих переменных.
- •Основные теоремы о дифференцировании функций многих переменных.
- •Числовые ряды.
- •Функциональные последовательности.
- •Функциональные ряды.
- •Тройной интеграл.
- •Двойной интеграл.
- •Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного ду первого порядка.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах.
- •Основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Множества, измеримые по Лебегу на прямой. Их свойства.
- •Сравнение интеграла Римана с интегралом Лебега.
- •Дифференцируемость функции комплексной переменной (фкп).
- •Интеграл от функции комплексной переменной.
- •Группы. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
- •Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
- •Поле. Простейшие свойства поля. Поле q. Поле с.
- •Векторное пространство. Базис и размерность конечномерного векторного пространства. Подпространства. Линейные многообразия. Изоморфизмы векторных пространств.
- •Многочлены от одной переменной над полем. Производная многочленов. Нод двух многочленов и алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены.
- •Многочлены над полями с, r и q. Многочлены от n переменных. Алгебраические и трансцендентные числа.
- •Отношение делимости в кольце целых чисел.
- •Отношение сравнения в кольце целых чисел.
- •Аксиоматические теории и схема их построения. Построение системы натуральных чисел.
- •Построение системы целых чисел. Операции на множестве целых чисел и их свойства. Система рациональных чисел.
- •Плоскость Лобачевского. Аксиома Лобачевского. Аксиома Лобачевского и простейшие следствия из нее. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
- •Трехмерное евклидово пространство. Векторное произведение векторов. П риложения к решению задач.
- •Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в трехмерном пространстве.
- •Трехмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов. Приложения к решению задач.
- •Полярные координаты. Простейшие задачи в полярных координатах. Уравнение линии. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах.
- •Проективная плоскость и ее модели. Проективные свойства фигур. Группа проективных преобразований плоскости. Приложения к решению задач.
- •Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции. Позиционные задачи.
- •Графы. Виды графов, способы их задания. Числовые характеристики графов.
- •Основные понятия и формулы комбинаторики.
- •Элементы логики высказ, математической логики и логики предикатов.
- •Бинарное отношение. Отображения, обратное отображение. Отношения эквивалентности и порядка. Фактор–множество.
- •Кривые в трёхмерном евклидовом пространстве. Касательная, нормальная и соприкасающаяся плоскость кривой. Канонический репер кривой. Кривизна и кручение кривой.
- •Поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности и их применение.
- •Методы научного познания в обучении математике.
- •Методика изучения математических понятий.
- •Методика изучения математических предложений.
- •Задачи в школьном курсе математики.
- •Методика изучения числовых множеств в школьном курсе математики.
- •Методика изучения тождественных преобразований выражений в школьном курсе математики.
- •Понятие функции. Методика изучения алгебраических функций в школьном курсе математики. Функции натурального аргумента.
- •Методика изучения трансцендентных функций в школьном курсе.
- •Методика изучения производной. Применение производной в школьном курсе математики.
- •Методика решения трансцендентных уравнений, неравенств и их систем.
- •1.Тригонометрические уравнения. Содержание и методика.
- •Методика изучения начал систематического школьного курса планиметрии.
- •Методика изучения четырехугольников, их свойств.
- •Методика изучения величин в школьном курсе планиметрии.
- •Методика изучения основных соотношений между элементами треугольника.
- •Методика изучения подобия фигур.
- •Методика формирования у учащихся навыков решения задач по планиметрии. Обучение школьников решению задач на построение циркулем и линейкой.
- •Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии. Особенности методики работы с многогранниками.
- •Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.
- •Методика обучения учащихся нахождению углов и расстояний в пространстве.
- •Методика изучения многогранников и их свойств.
- •Методика изучения тел вращения, их св-в.
- •Методика изучения площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.
- •Методика обучения школьников решению задач на комбинации многогранников и тел вращения.
Методика обучения учащихся нахождению углов и расстояний в пространстве.
После взаимного расположения 2-х пр-ых в пр-ве целесообразно поставить вопрос как найти угол между ними. 1)если прямые пересек-ся, то они задают пл-тт, а на пл-ти уже в 5, а затем в 7 кл изуч-ся углы и св-ва углов, образ-ых при пересеч прямых; 2)угол между скрещ-ся прямыми. Для опр-ия угла выбирается любая т-ка в пр-ве и через неё провод-ся 2 прямые соотв-но парал-ые скрещ-ся прямым. Зависит ли этот угол от выбора т-ек в пр-ве? Это необх. д-ть, построив ещё один такой угол выбрав др. т-ки пр-ва. На практике угол между скрещ-ся прямыми удобнее строить выбрав т-ки на одной из них, через эту т-ку и 2-ую прямую можем провести пл-ть, а в этой пл-ти прямую параллельную 2-ой прямой. Замечание: Необходимо сделать акцент, что перпенд-ые прямые м.б. как пересек-ся так и скрещив-ся; 3)угол между парал-ми прямыми =00. При изучении угла между пл-ми необх. ввести понятие двугранного угла, граничногй прямой, линейного угла. Нужно определить понятие двугранного угла. Методика введения традиционная. Можно рассмотреть призму, пирамиду и показать что нас интерисует: угол между 2-мя гранями – его называют двугранным. Надо определить его. Мы имеем 2 полупл-ти с общей прямой – граничной прямой. Опр.: Двугранным углом наз-ся фигура, образов-ая 2-мя пл-ми с общей граничной прямой и частью пр-ва для которой эти полупл-ти служат границей. Попросить показать двугранный угол в окружающей действительности. Изобр. в уч. дано по-разному, но удобнее сначала нарисовать общ. граничную прямую, затем одну пл-ть и вторую, и на нём показать эл-ты. Градусной мерой двугранного угла наз-ся град. мера его линейного угла. Величина лин. угла не зависит от выбора т-ки на ребре. Требования: под двугр. углом следует понимать тот лин. угол кот. измен-ся от 0 до 180. Отсюда следует опр-ие угла между пересек-ся пл-ми. Опр.: углом между двумя пл-ми наз-ся угол между прямыми, проведёнными в пл-тях, перпенд-но их линии пересечения. Как определить расстояние: 1)от т-ки до пл-ти(длина перпендикуляра к пл-ти); 2)от т-ки до прямой(через т-ку и прямую провести пл-ть, а в пл-ти расстояние это длина перпенд-ра провед-го из т-ки на прямую); 3)от прямой до пл-ти(расстояние от любой т-ки, принадлежащей прямой, до пл-ти); 4)между пл-ми(расстояние от любой т-ки одной пл-ти до др. пл-ти); 5)между скрещ-ся прямыми(удобно расстояние между скрещ-ся прямыми назвать расстоянием от одной скрещив-ся прямой до пл-ти проход-ей через 1-ую прямую и параллельно 2-ой прямой). Методика обучения школьников вычислению расстояний и углов между геометрическими фигурами в пространстве. Прежде всего нужно научить школьников строить эти углы и отрезки, поэтому 1-ый пункт решения это описание построения. Это удобно делать с помощью многогранников.
Пример: задана треугольная пирамида SABC. а)SBO – угол между SB и (ABC); б)SKO – угол между (SBC) и (ABC). не забываем, что а)если боковые рёбра пирамиды равны или углы между боковым ребром и пл-тью основания равны, то т-ка O центр описанной около основания окр-ти; б)если двугранные углы при основании равны, то О – центр вписанной окр-ти.