2. Методика изучения первых разделов систематического курса стереометрии. Особенности методики работы с многогранниками.

Трудности при изучении аксиом и их следствий. Пути их преодоления. Введение аксиом стереометрии должно сопровождаться активным привлечением моделей и изображений многогранников, предметов окружающей обстановки, стереометрического ящика. Аксиомы можно вводить по следующей схеме: 1.иллюстрация аксиомы на модели; 2.формулировка аксиомы; 3.схематический рисунок; 4.символическая запись.

Аксиомы: А1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. А2. Если две точки прямой лежат в одной плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которых лежат все общие точки этих плоскостей.Особое внимание при их доказательстве необходимо уделить выделению 2-х требований: док-во существования фигуры (с пом построения фигуры) и док-во единственности (методом от противного). Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Методика введения мн-ков: Первым многогранником с которым встречаются учащиеся в 5 классе – прямоугольный параллелепипед и куб. Для них введены названия элементов. В 10-ом классе дается описание многогранника как геометрического тела ограниченного конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых не лежат на одной плоскости. Названия элементов актуализируются в процссе эвристической беседы. Для введения понятий выпуклый и невыпуклый многогранник полезно использовать анологию. В 10-ом классе рассматриваются куб, параллелепипед, призма, пирамида. Методика изучения каждого тела одинакова: показываются модели; из каких многоугольников состоит многогранник; вводится понятие. Учитель должен поощрять учащихся за попытку дать различное описание многогранника. Методические особенности обучения школьников решению задач при изучении аксиом стереометрии и построений сечений многогранников аксиоматическими методами. Задачи на построение сечений являются связующим звеном в курсе стереометрии. Тухолко в журнале «Праблемы выкладання матэматыки» предлагает выделить опорные задачи и конструкции для решения задач на построение. Опорные задачи на построение: построение точки пересечения прямой и плоскости; построение линии пересечения двух плоскостей; построение сечений многогранников: по 3-м точкам ( метод следа, внутренне проектирование), через точку и прямую, через точку параллельную другой плоскости, через точку перпендикулярную прямой, через точку перепендикулярную плоскости; построение угла между прямыми; построение общего перпендикуляра между скрещивающимися прямыми; построение линейного угла двугранного угла. Для каждой опорной задачи формулируется опорное решение и примеры ее применения к геометрической конструкции.

2. Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.

Возможны 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве: 1)Прямые пересекаются (имеют 1 общую точку); 2)Прямые параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются); 3)Прямые скрещиваются (не сущ. Плоскости в которой они обе лежат). Определение: 2 прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Пишут . Определение: две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат. Вопрос о парал-сти тесно связан с вопросом о взаимном расположении прямых и пл-тей в пр-ве. Возможны 2 подхода к введению понятий: 1) исп-ние геометрич. представлений (исп-ся в школе); 2) исп-ние координатного метода: прямая и пл-сть задаются ур-ями, взаимное расположение опр-ся системой ур-ий. При изучении также возможны 2 подхода: 1. Первым изучать перпендик-сть, затем парал-сть (1-ое ближе к опыту уч-ся, а понятие парал-сти связ. с бесконечностью – сложнее); 2. Наоборот (упрощает изложение послед-го материала), исп-ся в школе. Изучение нового материала идет одновременно с повторением изученного на пл-сти. В изучении темы можно выделить 4 блока: 1)Парал-сть прямых в пр-стве. 2)Парал-сть прямой и пл-сти. 3)Парал-сть плоскотей. 4)Парал-ное проектирование и его свойства. Схема изложения вопросов 1-3: - определение, - существование, - единственность, - признак, - свойство, - решение задач. Порядок изуч. вопросов каждого блока может быть различен у разных авторов. Шлыков: §1 II прямые в пространстве, §2 II прямой и пл-ти, §3 скрещивающиеся прямые, §4 угол между прямыми, §3 и 4 отражают наиболее сложные для восприятия уч-ся темы, §5 II плоскостей. 4 блок расположен в приложении, рекомендуется для изучения по усмотрению учителя. Главная методическая трудность – преодолеть противоречие между мысленными образами прямых и пл-тей и их графич. моделями. Для этого максимально исп-ть многогранники, как модели и окруж. предметы. Материал каждого блока следует излагать с пом. беседы о том, сколько общих точек могут иметь две прямые (прямая и пл-ть, 2 пл-ти), при этом опираться на соответствующие аксиомы и теоремы известные ученикам. Две прямые не могут иметь 2 общие точки, в противном случае они совпадают и имеют бесконечное мн-во общих точек. После этого выяснить могут ли прямые иметь меньше двух общих точек. Результаты беседы полезно сразу же заносить в таблицу, кот. в последующем поможет систематиз-ть знания уч-ся по всей теме. Методика изучения параллельности прямой и плоскости. Изучение нового материала идёт одновременно с повторением изученного на плоскости. Схема изложения материала: 1)определение: Прямая и плоскость наз. параллельными, если они не имеют общих точек; 2)существование; 3)единственность; 4)признак: Если прямая, не лежащая в данной плоскости параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости; 5)свойства: Если плоскость проходит через прямую другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. 6)решение задач: в данном параграфе предлагаются задачи 2-ух уровней сложности. Вторая часть задач является наиболее сложной и рекомендуется сильным ученикам. Но, задачи располагаются не в порядке возрастания! Материал следует излагать с помощью беседы о том, сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, при этом опираясь на соответствующие аксиомы и теоремы, известные ученикам. Возможно 3 случая расположения прямой и плоскости: 1)прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит плоскости); 2)прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку); 3)прямая и плоскость не имеют общих точек. Полезно при беседе использовать стереометрический ящик и все случаи показывать наглядно! Методика изучения параллельности плоскостей Наиболее сложный признак параллельности плоскостей. Он осуществляется методом от противного. При этом в пособии рисунков нет, учитель должен сам предоставить рисунки. При объяснении следует ссылаться на изученный материал параллельности прямых, параллельности прямой и плоскости. Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Представление о параллельных плоскостях дают, напри- мер, пол и потолок комнаты, поверхность пола и стоящего на нем стола, противоположные стенки шкафов и др. Перпендикулярность в пространстве. Мат-л изучался в нач школе при введении понятия «угол»: прямые, кот пересекаются под прямым углом показывают на предметах окружающей действительности (квадрате, кубе). В 5 классе вводится определение и обозначение перпендикулярных прямых, как прямых образующих при пересечении прямые углы. Они строятся с помощью угольника и транспортира. Мотивацией введения их необходимость введения координатной плоскости в 6 классе.