2. Методика изучения производной. Применение производной в школьном курсе математики.

В науке производная опред-ся через понятие предела ф-и, а именно . В школе вводится следующее определение производной: Производной y’=f(x) в т. , называется число, к которому стремится отн. , при 0. Цель изучения в школе – рассмотрение еще одного класса ф-ций и их простейших приложений, закрепление общей схемы исследования функций. Требуется предварительное определение понятий: , , окрестность т x, интервал. Для записи изменения вводится значок . Разность x- = – приращение аргумента в т. , X= + ; f(x)-f( )= (*)– приращение функции. Нужно обратить внимание , что (*) задаёт функцию, необходимо показать ученикам геом. Смысл приращений на графике произвольной функции. Обратить внимание что . Символ пояснить как: разность между x- становиться всё меньше, и близкая к нуль то x- или 0. Далее учителю лучше рассмотреть пример нахождения приращения: . Лучше сразу формировать алгоритм нахождения y’: 1. Выберем множ. т. . Придадим приращение ; 2. ; 3 ; 4. 0, то – число наз. производной ф-ии . Вводим определение, затем обозначаем для данного примера f’( )=2 , а затем материал обобщаем. Пусть y=f(x) имеет произв. В заданной т. некоторого промежутка, тогда каждому числу x соотв. одно опр. знач. f’(x), т.о. получается новая функция , которая наз. производной. y=f(x) явл. функцией. Поскольку эта функция произведена, то она получила название производной. Перед изуч. учитель должен вспомнить с учен-ми опр. ср. скорости, опр. касательной и его угловой коэффициент к граф фун. Цели: показать практическую значимость производной, но авторы ограничиваются применением производной к иссл. функций, причём внимание уделяется след. вопросам: 1)Убывание и возрос. ф. 2)мак. и мин. фун. 3)Особенности изуч. возр. и убыв.:-не вводится термина монотонности; -возр. и убыв. вводятся без доказательства; -используется строгое неравенство f(x)>0 и f(x)<0. Перед изуч понятия касат к графику ф-ций необх вспомнить опр касат, кот вводилось только для окружности. В последующем важно показать, что касат – предельн полож секущей, при этом углов коэф касательной - f’ в точке - геом смысл производной.Уч-ся д. знать новое опр касат: Касательной к графику диффер в точке ф-ции назыв прямая, прох через т( ) и имеющ углов коэф

2. О понятиях равносильности и следования в курсе школьной математики. Методика обучения учащихся решению алгебраических уравнений, неравенств и их систем. Опр1:Урав-е – математическая запись задачи о разыскании значения аргументов, при кот. значения данной функции равны. (В некот. учебниках это короче: Ур-е–это равенство двух функций. это опред-е удобно если функц. задана аналитически).Опр2:Урав-ем наз-ся мат-ое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений.Опр3:Урав-е – мат-ое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами (числами или функциями), верное только для определённых наборов этих величин.Опр4: Ур-е это равенство с переменными. 5кл.1) Линейные урав. В 7кл. вводится опр. уравнения и реш-ся линейные уравн-я с 1 переменной и изуч. способы их реш. Изуч. св-ва урав-й (+; -; ×; ÷), кот. не док-ся, а показ. на конкр. примерах. Дается научное опр. урав. с 1 переменной: Опр: Уравнением вида ax+b=0, где a и b – некоторые числа, x – переменная наз. линейным урав-ем с 1 перем-й. Рассм. 3 случая его реш.: 1) a≠0, x=a/b – 1 корень; 2) a=0, b=0, 0·x=0 – бесчисленное кол-во реш-й; 3) a=0, b≠0, 0·x=b – нет корней. 9кл. Ввод. ур-е с 2-мя перем., рассм. системы и способы их реш. Имеются урав-я с mod, но явл. не обяз.2) квадратные урав. 8кл. Реш. с помощ. дискрим-та, изуч. т.Виета при Д>0 (x² + px + q= 0. x₁ + x₂= -p; x_1·x₂= q и для непривед-го ax+ bx + c= 0. x₁+ x₂= -b/a; x₁x₂= c/a). Рассм. ур-я с mod, хотя изуч-е их не обяз. 3) дробно рацион. ур-я 8кл.( если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную x. Вид: a/x=b).4) иррац. ур-я. 9-10кл. Уравнения, содержащие неизвестную под знаком √радикала.5) показат-е ур-я 11кл. Уравнения, в кот. неизвестное содержится в показателе степени. Вид: a^x= b.Равносильными или эквивалентными наз. ур-ия, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Два нер-ва с одной переменной наз. равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений. Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (<; ≤; ≥) к решению уравнения f(x) = 0. 1). Находится ОДЗ неравенства. 2). Неравенство приводится к виду f(x) > 0(<; ≤; ≥) (т.е. правая часть переносится влево) и упрощается. 3). Решается уравнение f(x) = 0. 4). На числовой метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 к решению уравнения f(x) = 0. 5). Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(х). 6). Ответ записывается в виде объединения отдельных множеств, на кот. f{x) имеет соответствующий знак. Точки, отмеченные закрашеными кружками, в ответ входят, отмеченные пустыми - нет. Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки. Метод интервалов основан на том, что непрерывная функция f(x) может изменить знак либо в граничных точках ОДЗ, где она "разрывается", либо проходя через ноль, т.е. в точках, являющиеся корнях уравнения f(x) = 0. Ни в каких других точках перемены знака не происходит.Для реш. Текст. задач прим-ся три осн. метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи. Этапы реш. задачи:1) разбор условия задачи и составлении уравнений или неравенств по условию задачи. 2). решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств. 3) проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.