2. Методика изучения математических предложений.

В мышлении понятия не выступают разрозненно, а связаны между собой с помощью математических предложений. Формой связи понятий являются суждения или высказывания: высказывание – мысль, выраженная повествовательным предложением и могущая быть истинной или ложной. Как правило мат. предложение является либо аксиомой, либо теоремой. Аксиома- предложение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности; истинное исходное положение теории. В уч. Шл. Г8 под акс. пон-ся утв., кот принимаются без док-ва. Они предст. собой основные св-ва понятий, кот соответствуют формам и отношениям наблюдаемым в окруж. пр-ве и не вызывающих сомнений в их справедливости. Теорема- предложение, истинность кот устанавливается с пом. док-ва. У Шл. Г8: теорема- утв., кот обосновывается путем лог. рассуждений, а само обоснование наз. док-вом. Для правильной организации работы по усвоению мат предложений учитель должен знать логическую структуру. Лог. стр-ра мат. предложений- совокупность и порядок логических связок, с помощью которых составлено сложное предложение из элементарных. Для раскрытия лог. стр-ры необходимо выделить: 1)элементарное предложение; 2)лог. операции, устанавливаемые с помощью логических связок (и, или, не, если…то, тогда и только тогда, для любого, существование, единственность), и указания порядка их использования. Между мат предложениями устан 2 главных отношения: 1)следование; 2)равносильность. С ними тесно связаны такие выражения: «необх. условие», «достат. условие», «необх. и достат. условие». Пусть А(х) и В(х) некоторые мат. предложения. Говорят, что из А(х) следует В(х), если В(х) обращается в истинное высказывание по крайней мере при тех значениях х, при которых А(х) обращается в истинное высказывание. А(х) выражает достаточное условие для В(х), а В(х) необходимое условие для А(х). А(х)- условие теоремы. В(х)- требование, заключение. Чтобы ученики четко различали их, то теорему всегда удобно переформулировать с помощью логической связки «если…то». В математике рассматривают 4 вида предложений, записанных в условной форме: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . В математике в связи с этим традиционно выделяют 4 вида теорем им соответствующих: 1)Прямая теорема; 2)Обратная; 3)Противоположная; 4)Обратная противоположной. Пример. 1)Прямая. Вертикальные углы равны. [если углы вертикальные, то они равны]; 2)Обратная. Если углы равны, то они вертикальные; 3)Противоположная. Если углы не вертикальные, то они не равны; 4)Обратная противоположной. Если углы не равны, то они не вертикальные. 1-4 истинны. Док-вом называется логическое рассуждение, с помощью кот обосновывается или опровергается некоторое утверждение. Различают содержательные (неформальные) и формальные док-ва. К формальным относятся те, кот осуществляются с фиксированием правил вывода и использованием соответствующей символики. В шк курсе исп-ся неформальные док-ва, в кот исп-ся с помощью обычных рассуждений со ссылкой на известные теоремы, аксиомы, факты. Различают 2 вида док-в: 1)прямое (синтетическое и аналитическое); 2)косвенное. Исходным моментом синтетического док-ва явл-ся условие теоремы. С помощью изученных ранее предложений и законов логики условие преобразуют до тех пор, пока не получают заключение. Аналитическое док-во осуществляется двояко: 1)С помощью восходящего анализа (Паппа); 2)Нисходящего анализа (Евклида). Косвенное док-во (в шк практике его называют методом от противного)

Он состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что нужно доказать. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и известные факты приходим к выводу, противоречащему либо условию, либо одной из аксиом или теорем. На этом основываем заключение, что предположение не верно. Методические задачи. 1)Развитие навыков логических рассуждений; 2)Развитие потребностей в док-ве (приучение обосновывать свое суждение); 3)Использование аналитико-синтетического метода; 4)Сознательное усвоение математики; 5)Осознание дедуктивного хар-ра математики. Изучение теоремы состоит из следующих составных частей: 1)Символическая запись условия и требования теоремы; 2)Дополнительные построения; 3)Цепочка рассуждений; 4)Вывод. Методика обучения уч-ся теоремам и их док-вам включает: 1)Подготовительная работа (актуализация знаний и подведение к формулировке теоремы); 2)Поиск док-ва; 3)Док-во теоремы, включая оформление; 4)Закрепление, анализ возможностей применения полученного вывода в практической деятельности. Подготовка учителя: 1)Анализ формулировки теоремы. (выделение условия и заключения. Выяснение существенности каждого элемента формулировки. Учет ошибок, кот могут допустить уч-ся. Подготовка соответствующих контрпримеров); 2)Выяснение проблемы, приводящей к необходимости док-ва теоремы, значения теоремы в системе теорем раздела, всего курса геометрии и её приложений; 3)Применение аналитико-синтетического метода пр док-ве теоремы, подготовка аналитического рассуждения, позволяющего уч-ся уяснить особенности и последовательность док-ва, необходимых дополнительных построений; 4)Выяснение метода, идеи, приема, и др особенностей док-ва; 5)Исследование математической ситуации, возникшей при док-ве теоремы. Рассмотрение всех возможных случаев; 6)Выявление других возможных способов док-ва теоремы; 7)Расчленение док-ва на отдельные части, шаги. Составление плана ок-ва. Рациональная запись док-ва; 8)Выявление понятий, предложений, на кот основано док-во теоремы. Выделение предложений, требующих повторения; 9)Составление содержания подготовительной работы. Подбор соответствующих упражнений и заданий; 10)Подбор упражнений, закрепляющих изучение теорему и выявляющих её связьс другими предложениями.