2. Трехмерное евклидово пространство. Смешанное произведение векторов. Приложения к решению задач.

О ПР:Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое соотношением .Из свойств смешанного произведения особый интерес на практике представляет его геометрический смысл: Т:. Модуль смешанного произведения трех ненулевых векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных из одной точки: .

СЛ: Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Из определения смешанного произведения и теорем о вычислении скалярного и векторного произведений следует следующая теорема:

Т(о вычислении смешанного произведения). Пусть , б . Тогда .

Свойствасмешанногопроизведения.

1)Для произвольных веторов а,б, с и произвольного числа α имеет место следующее равенство: абс=саб=бса. При циклической перестановке числа векторов сомножителей знак мешанного произведения не меняется.

2) При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный: абс= - бас.

3) (α а)бс= α(абс)

4) (а+б)сд=асд+бсд.

2. Полярные координаты. Простейшие задачи в полярных координатах. Уравнение линии. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах.

Декартовы координаты не всегда оказываются удобными. Например, для математического описания плоских фигур с круговыми границами, а также в некоторых других случаях более удобными оказываются полярные координаты. Полярная система координат содержит лишь одну числовую ось p (полярную ось), начало которой О называется ее полюсом (рис. 1.4).

  

Полярными координатами произвольной точки М плоскости являются ее полярный угол φ (угол между полярной осью p и направлением из полюса на эту точку), и полярное расстояние r (расстояние от полюса O до этой точки). Полярный угол φ принято считать (если нет специальной оговорки) в пределах (-π; π] и выражать в радианах. 

Если наряду с полярными координатами (φ; r) точки плоскости ввести также ее декартовы координаты, как это показано на рис. 1.5, то связь между ними выразится очевидными формулами: .

По этим формулам осуществляется переход от полярных координат точек плоскости к декартовым. Обратный переход, от декартовых координат к полярным, осуществляется по формулам .

Если за полярную ось принять ось Ох канонической системы координат, а за полюс - левый фокус в случае эллипса, правый фокус в случае гиперболы и фокус в случае параболы, то уравнение в полярных координатах каждой из этих линий имеет один и тот же вид: ,где  полярные координаты точки кривой; p - длина полухорды, проходящей через фокус перпендикулярно полярной оси, и е- эксцентриситет кривой. Для эллипса и гиперболы p=  , а для параболы, заданной каноническим уравнением y²=2px, p -параметр.

2. Проективная плоскость и ее модели. Проективные свойства фигур. Группа проективных преобразований плоскости. Приложения к решению задач.

Рассмотрим определение проективной плоскости Р2. Понятие проективной плоскости строится на базе трехмерного векторноо пространства V3.

ОПР: Не пустое множество Р2 называется проективным плоскостью, если существует отображение j множества ненулевых векторов V3 в Р2 удовлетворяющее двум условиям:

1. Отображение j сюрьективно. 2 .Образы 2-х векторов совпадают, эти векторы линейно зависимы. Связка прямых в трехмерном евклидовом пространстве Е3.

Связкой прямых в Е3 называется множество прямых пространства проходящих через некоторую фиксированную точку.Эта точка - называется центром связки.Пространство Е3 построено на базе V3. Зададим отображение j множества ненулевых векторов на связку по закону каждому вектору A поставим в соответствии прямую ОА связки, чтобы ОА / / a.

Проверим выполняемость аксиом проективной плоскости.

1)j - сюрьективно, так как у " прямой ОМ всегда будет хотя бы один прообраз вектор m / / ОМ

2)если 2 вектора коллинеарны a / / a1, то образы совпадают - это будет прямая ОА,j (a)=j (a1)=OA.

Если образы 2-х векторов совпадают, то векторы коллинеарны.Построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют прямые связки, с роль проективных прямых выполняют плоскости связки.

Свойства проективной плоскости:

Т1: Через 2 различные точки проходит одна прямая. Т2:Две различные прямые имеют единственную общую точку. Т3: Для того, чтобы три точки Х,Y,Z лежали на одн прям, необх и дост, чтобы|X,Y,Z|=0 , то есть  . Т4: Для того, чтобы три прямые c, m, n проходили через одну () необходимо и достаточно, чтобы |c,m,n|=0. Т5: Для того, чтобы три точки лежали на одной прямой, необх и достаточно, чтобы они были линейно зависимы. Т6: Для того, чтобы три прямые проходили через одну (), необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Меняя центр проектир-я и меняя положение центра и пл-ти для одной и той же фигуры м. получ различ образы. Очевидно многие св-ва фигур искожаются:

Св-ва:1)меняются длины отрезков, величины углов;

2)Параллельные прямые проектир-ся в пересек-ся;

3)Проектируя паралл-грамм получ произвол 4-угольник;

4)Отрезок проектируется в луч;

Проектируя окр-ть можно получить эллипс, гиперболу, параболу. Гиперболу можно получить, когда пл-ть проходит ч/з тО параллельно , пересек окр-ть в 2-х т.

Основные св-ва проект. преоб-ний:

1)При проектив преоб-ии 3 точки, не лежащие на одной прямой, переход в 3 точки, также не лежащ на одн пр.2)При проектив преоб-и люб репер переход в репер.

3)При проектив преоб-нии прямая переходит в прямую.

4)При проектив преоб-и пучок прям переход в пучок пр.