1. Ограниченные числовые множества. Существование точных граней.

Мн-во есть неопределяемое, первичное понятие, которое подразумевает совокупность строго определенных эл-тов.

Основные характкристики мн-в.

1. Мн-во представляет собой набор (совокупность) некоторых элементов.

2. Для каждого математ. объекта имеется возможность точно установить, является ли он элементом данного мн-ва или нет.

3. Для двух элементов мн-ва всегда известно, совпадают они или нет.

При этом данные св-ва не являются определением того, что такое мн-во, они скорее говорят о том, какие совокупности нельзя считать мн-ми. Для стандартных, часто используемых мн-в есть стандартные обозначения: N, Z, Q, R - мн-ва натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

Опр. Пустое мн-во – мн-во не содержащее ни одного элемента.

Опр. Числовое мн-во – это мн-во элементами которого явл числа.

Опр. Мн-во X назовем ограниченным сверху (снизу), если  МR ( mR), такое что xX справедливо соотношение x  M (x  m).Число M и m наз. Границами числового мн-ва соответственно верхней и нижней. Наибольшую из всех нижних границ наз. точной нижней гранью мн-ва X и обозн. . Наименьшую из всех верхних границ наз. точной верхней гранью мн-ва X и обозн. .

Опр. Мн-во XR наз. ограниченным если оно ограниченно сверху и снизу или СR(С>0), что xX справедливо нер-во xC.

Т. Если мн-во R состоит хотя бы из одного элем. и ограниченно сверху (снизу), то существ такие числа из мн-ва R которые явл точной верхней (точной нижней) гранью.

2. Предел числовой последовательности.

Пусть ф-ция f(x) задана на множестве N. Запишем значение ф-ции в порядке возрастания номера аргумента f(1),f(2),...,f(n),...

Опр.Числовая ф-ция f(x) задана на мн-ве N наз. числовой последовательностью f(1)=x₁, f(2)=x₂, ..., f(n)=x_n,... , x₁,x₂,...,x_n , если n зафиксированное , то x_n наз. n-ым членом числовой последовательности. Если n переменная величина, то x_n наз. общим членом данной последовательности.

Опр.Действительное число а наз. пределом числовой последовательности если 0  n₀N, что  n>n₀(nN) x_n-a<.

На языке окрестности определение предела имеет вид:  U(a)  U_n0(+), что n>U_n0(+) x_nU(a).

Число а не явл пределом числовой последовательности если, 0, что nN мы можем указать такой n> n x_n-a. Последовательность имеющая конечный предел ныз. сходящейся, в противном случае расходящейся.

Lim x_n=- (n+)

(Е- сколь угодно большое)

Опр. Е>0, n₀N , n>n₀ xn<-E.

На языке окрестности:  U(a)  U_n0(+), что n>U_n0(+) xnU_E(-).

Lim x_n= (n+)

Опр. Е>0, n₀N , n>n₀  x_n>E.

На языке окрестности:  U(a)  U_n0(+), что n>U_n0(+) x_nUЕ().

Опр.Действительное число а наз. предельной точкой мн-ва М если в любой проколотой окрестности точки а найдется хотя бы одна точка мн-ва М.

Кр. Предельной точки. Действительное число а явл. предельной точкой мн-ва М  когда из мн-ва М можно выделить послдовательность элементов отличных друг от друга и от точки а, такую чтобы сходилась в точке а.

Т. Если числовая последовательность имеет предел, то он единственный.

Док-во: Пусть существует два предела а,b числ. последоват. xn.

Lim x_n=а (n+) по опр. 0  n0N, что  n>n0 x_n-a</2. (1)

Lim x_n=b (n+) по опр. 0  n0N, что  n>n0 x_n-b</2. (2)

Выберем в качестве n₀ max знач. Из n0 и n0, тогда  n>n₀ оба неравенства (1) и (2) будут выполняться одновременно. Раз это так оценим 0b-a=b-x_n+x_n-ab-x_n+x_n-a2+=. Отсюда следует b-a=0, зн. b=a. Ч.т.д.

Последовательность , предел которой равен нулю , наз бесконечно малой.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такой номер N, что для всех с номерами справедливо неравенство , записываем

Необходимый и достаточный признак сходимости монотонной последовательности: Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена. Критерий Коши: Последовательность сходится тогда и только тогда , когда (не используется само значение предела!)

Число e. Т. Последовательность x_n=(1+1/n)ⁿ nN сходится.