Лекция №6. Средние величины

Средней величиной в статистике называется обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо признаку. Средняя показывает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. С помощью средних можно сравнивать между собой различные совокупности по варьирующим признакам.

Средние показатели весьма часто используются в анализе, так как именно в них находят свое проявление закономерности массовых явлений и процессов как во времени, так и в пространстве.

Средние характеристики основываются на массовом обобщении фактов и используются как активное средство планирования и управления.

Известны различные виды средних. Степенная средняя:

(3)

X – меняющиеся величины признака (варианты);

n – число вариаций;

m – целое число, степень средней;

- знак суммирования «от 1 до n», если не оговорено иное.

Наиболее часто применяется средняя арифметическая (m = 1). Разные виды средних при одних и тех же исходных данных могут иметь разное значение.

В общем виде соотношение средних имеет вид:

, то есть, чем больше показатель степени в (10), тем больше величина средней.

Этот факт называют свойством мажорантности средних.

Средняя арифметическая и ее свойства.

Различают так называемую среднюю и взвешенную среднюю.

Простая средняя определяется:

(4)

Взвешенная средняя:

(5)

где, f_i – «веса», выражающие число единиц, имеющих одинаковое значение признака X_i.

Свойства средней арифметической.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты:

(6)

2. Если от каждой варианты отнять какое-либо число, то новая средняя уменьшится на это же число:

(7)

3. Если к каждой варианте прибавить какое-либо число, то средняя увеличится на это же число:

(8)

4. Если каждую варианту разделить на какое-либо произвольное число, то средняя уменьшится во столько же раз:

(9)

5. Если каждую варианту умножить на какое-либо произвольное число, то средняя увеличится во столько же раз:

(10)

6. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо произвольное число, то средняя от этого не изменится.

Данное свойство отражает тот факт, что веса рассматриваются как относительные величины. Этим свойством пользуются для выражения весов в процентах к итогу, что бывает удобным для анализа экономических показателей.

7. Сумма отклонений вариант от средней всегда равна нулю:

(11)

Это свойство отражает тот факт, что в средней арифметической взаимно погашаются отклонения вариант в большую и в меньшую сторону.

Пользуясь рассматриваемыми выше свойствами можно упростить вычисление средней: сначала вычесть какое-либо число, а затем разделить на (другое) число. Такой прием называют иногда «способом моментов».