Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение. Обыкновенное дифференциальное уравнение и в частных производных. Порядок дифференциального уравнения. Общее решение (общий интеграл) и частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения. Интегральные кривые, геометрический смысл решения дифференциального уравнения.

2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Метод разделения переменных.

3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Получение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка методом подстановки. Уравнение Бернулли.

4. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержащее в явном виде функцию и её производную. Дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержащее искомой функции. Дифференциальное уравнение, не содержащее в явном виде независимой переменной.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное дифференциальное уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Связь корней характеристического уравнения с видом общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема об общем решении неоднородного дифференциального уравнения. Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения методом неопределённых коэффициентов.

7. Системы дифференциальных уравнений.

Общий вид системы дифференциальных уравнений. Порядок системы. Теорема о связи системы n линейных дифференциальных уравнений и линейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Метод исключения решения систем дифференциальных уравнений.

Ряды

1. Числовые ряды и их сходимость.

Числовой ряд. Члены ряда. Сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Ряд Дирихле.

2. Признаки сходимости числовых рядов.

Признаки сравнения числовых рядов. Интегральный признак Коши-Маклорена.

3. Признаки сходимости числовых рядов.

Признак Д'Аламбера. Признак Коши.

4. Знакопеременные числовые ряды.

Знакопеременный ряд. Знакочередующийся ряд. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда. Признак Лейбница.

5. Степенные ряды и их сходимость.

Степенной ряд. Терема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Интервал и область сходимости степенного ряда.

6. Разложение функции в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.