56. К какому классу формул можно отнести все теоремы исчисления высказываний
Определим эквивалентность формул в исчислении высказываний.
Определение 1.
Формулы U и B называются
эквивалентными, что обозначается 
, если
(1)
Рассмотрим некоторые простые свойства отношения эквивалентности.
1. Рефлексивность: 
.
2. Симметричность:
если 
,
то 
.
3. Транзитивность:
если
и 
,
то 
.
Задание 1. Доказать свойство симметричности отношения эквивалентности.
Решение.
1. 
2. 
3.
Из свойств отношения эквивалентности следует, что множество формул исчисления высказываний разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу формул (классы эквивалентности). Следовательно, все теоремы исчисления высказываний образуют один класс эквивалентных формул.
Обоснуйте непротиворечивость исчисления высказываний
Логическое исчисление считается непротиворечивым, если в нем не выводимы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.
Теорема I. Исчисление высказываний непротиворечиво.
Справедливость этого
утверждения следует из предыдущей
теоремы. В самом деле, пусть a -
некоторая выводимая в исчислении
высказываний формула. Следовательно,
она тождественно истинна, если ее
рассматривать как содержательную
формулу алгебры высказываний. Тогда 
-
тождественно ложна, т.е. не выводима при
всех значениях входящих в нее переменных.
Следовательно, aи
не
могут быть вместе выводимыми в исчислении
высказываний.
Итак, любая выводимая формула в исчислении высказываний является тождественно истинной, если эту формулу исчисления высказываний рассматривать как содержательную формулу алгебры высказываний. Возникает обратная задача.
Будет ли любая тождественно истинная формула алгебры высказываний выводима из аксиом исчисления высказываний.
Эта задача представляет собой проблему полноты исчисления высказываний в широком смысле.
Для любой логической системы определение полноты в широком смысле слова можно сформулировать следующим образом: логическое исчисление называется полным, если всякую истинную в содержательном смысле формулу можно вывести по правилам исчисления из аксиом исчисления.
Для исчисления высказываний проблема полноты решается положительно.
В чем выражается полнота исчисления высказываний
Теорема II. Система исчисления высказываний является полной.
Не менее важным является определение полноты логической системы в узком смысле слова. Логическое исчисление называется полным в узком смысле слова, если добавление к системе аксиом некоторой невыводимой в этом исчислении формулы делают исчисление противоречивым. Исчисление высказываний является полным также в узком смысле слова.
Для любой логической системы возникает проблема независимости аксиом данного исчисления. Зададимся вопросом, можно ли какую-либо аксиому исчисления вывести из остальных аксиом с помощью правил вывода данной системы. Если это возможно, то аксиому, выводимую из других аксиом, можно вычеркнуть из списка аксиом данного исчисления. Аксиома, невыводимая из остальных аксиом, называется независимой из этих аксиом. Система аксиом, в которой ни одна аксиома не выводима из остальных, называется независимой системой аксиом.
Эта проблема для исчислений решается положительно.