Глава 3. Теория пар сил

3.1. Момент силы относительно центра

Рассмотрим тело, которое закреплено в центре О и может поворачиваться вокруг оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости чертежа. Приложим в точке А этого тела силу P и выясним, чем определяется вращательное действие этой силы (Рис.3.1).

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.

Определение 3.1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком произведение модуля силы на ее плечо  то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: M₀(P) = P d = 2S_OAB .

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил. В общем случае для однозначного описания вращательного действия силы введем следующее определение.

Определение 3.2. Вектор-моментом силы Р относительно центра О называется вектор, который:

 приложен в моментной точке О перпендикулярно к плоскости треугольника, построенного на векторе силы с вершиной в моментной точке;

 направлен по правилу право винта;

 равен по модулю моменту силы Р относительно центра О (Рис3.2а).

Правило правого винта, известное также из курса физики как правило буравчика, означает, что если смотреть навстречу вектор-моменту М₀(Р), мы увидим вращение силой Р плоскости своего действия, происходящим против хода часовой стрелки.

Обозначим через r радиус-вектор точки приложения силы Р и докажем, что справедлива следующая

Теорема 3.1. Вектор-момент силы Р относительно центра О равен векторному произведению радиус-вектора r и вектора силы Р :

М ₀(Р ) = ( r Р ). (3.1)

Напомним, что векторным произведением векторов a и b и называется вектор c , который (Рис.3.2б):

 перпендикулярен к векторам a и b ;

 образует с ними правую тройку векторов, то есть, направлен так, что,

смотря навстречу этому вектору, мы увидим поворот от вектора a к вектору b на наименьший угол происходящим против хода часовой стрелки;

 равен по модулю удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах:

c = a b = a bsin (a,b).

Для доказательства теоремы отметим, во-первых, что вектор, равный векторному произведению векторов r и Р будет коллинеарным вектору М₀(Р). Чтобы убедиться в этом, достаточно отложить эти векторы от одной точки (Рис.3.2в). Итак, (r Р )  М₀(Р ).

Во-вторых, модуль векторного произведения этих векторов будет равен:

r Р= rР sin (r, Р ) = P  d =М₀(Р ),

откуда и следует соотношение (3.1).Следствием теоремы (3.1) является

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей сходящихся сил). Вектор-момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно произвольного центра О равен геометрической сумме вектор-моментов всех сил системы относительно этого центра:

М₀(R) = М_{0 i} (P_i). (3.2)

В самом деле, момент равнодействующей с учетом (3.1) и (2.3) будет равен:

М₀(R) r R r P_i = (r_i P_i) = М_{0 i} (P_i).

Для плоской системы сходящихся сил геометрическая сумма в (3.2) переходит в алгебраическую:

М₀(R) = М_{0 i} (P_i).

ПРИМЕЧАНИЕ. В учебной литературе термин «момент» применяют для обозначения как момента силы, так и ее вектор-момента.