7.2. Центр системы параллельных сил

Рассмотрим систему n сил P_i, приложенных в точках A_i (x_i, y_i, z_i) и параллельных оси Ov c ортом l (Рис.7.2).

Если заранее исключить случай системы, эквивалентной паре сил, нетрудно на основании предыдущего параграфа доказать существование ее равнодействующей R.

Определим координаты центра C (x_c, y_c, z_c) параллельных сил, то есть координаты точки приложения равнодействующей этой системы.

Воспользуемся с этой целью теоремой Вариньона, на основании которой:

M₀ (R ) =  M₀ (P_i ).

Вектор-момент силы можно представить в виде векторного произведения, поэтому:

М₀(R) r_c R =  М_{0 i} (P_i) =  (r_i P_i).

Учитывая, что R = R_vl , а P_i = P_vil и воспользовавшись свойствами векторного произведения, получим:

r_c R_vl =  (r_i P_vil),

r_c R_v l =  (r_i P_vi l) = (r_i P_vi ) l,

или:

[r_c R_v   (r_i P_vi )] l = 0.

Последнее выражение справедливо только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому, опуская индекс v и учитывая, что равнодействующая R = P_i , отсюда получим:

r_c = (P_i r_i)/( P_i).

Проектируя последнее векторное равенство на оси координат, получим искомое выражение координат центра параллельных сил:

(7.2)

x_c = (P_i x_i)/( P_i);

y_c = (P_i y_i)/( P_i);

z_c = (P_i z_i)/( P_i).

Глава 8. Центр тяжести твердого тела

8.1. Центр тяжести однородного тела

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом V_i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения P_i, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (Рис.8.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Определение. Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

Напомним, что удельным весом элементарной части тела называется отношение ее веса P_i к объему V_i: _i = P_i/V_i . Для однородного тела эта величина является постоянной: _i =  = P/V.

Подставляя в (7.2) P_i = _i  V_i вместо P_i , учитывая последнее замечание и сокращая числитель и знаменатель на , получим выражения координат центра тяжести однородного тела:

(8.1)

x_c = (V_i x_i)/( V_i);

y_c = (V_i y_i)/( V_i);

z_c = (V_i z_i)/( V_i).

Рассмотрим частные случаи последних формул. Пусть тело имеет вид тонкой пластинки площадью F и толщиной t , лежащей в плоскости Oxy. Подставляя в (8.1) V_i = t  F _i , получим координаты центра тяжести однородной пластинки:

x_c = (F _i x_i) / ( F _i);

y_c = (F _i y_i) / ( F _i).

(8.2)

Для тела в виде тонкого криволинейного стержня длиной L с площадью поперечного сечения a элементарный объем V_i = a  L _i , поэтому координаты центра тяжести тонкого криволинейного стержня будут равны:

x_c = (L _i x_i)/( L _i);

y_c = (L _i y_i)/( L _i);

z_c = (L _i z_i)/( L _i).

(8.3)

ПРИМЕЧАНИЕ. В этом разделе курса мы не делаем разницы между силой притяжения, силой тяжести и весом тела. В действительности сила тяжести представляет собой разность между силой притяжения Земли и центробежной силой, вызванной ее вращением.