4.3. Частные случаи приведения плоской системы сил

В зависимости от значений главного вектора R₀ и главного момента M₀ возможны следующие случаи приведения плоской системы сил.

1) R₀ = 0, M₀ = 0  система сил находится в равновесии;

2) R₀ = 0, M₀ 0  система эквивалентна паре сил с моментом, равным главному моменту системы, который в этом случае не зависит от выбора центра приведения;

3) R₀  0, M₀ = 0  система эквивалентна равнодействующей R, равной и эквивалентной главному вектору системы R₀ , линия действия которой проходит через центр приведения: R = R₀ , R ~ R₀ ;

4) R₀  0, M₀ 0  система эквивалентна равнодействующей R, равной главному вектору системы R₀ , ее линия действия проходит на расстоянии d = M₀/ R₀ от центра приведения.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть доказательство леммы Пуансо в обратном направлении, сменив силу Р на R, а Р¢  на R₀ .

В самом деле, пусть система эквивалентна главному вектору R₀ и главному моменту М₀ (Рис.4.2а). Заменим М₀ парой сил (R, R ) с моментом М(R, R ) = М₀ , выбрав силы пары равными по модулю и параллельными R₀ , а ее плечо d = M₀/ R₀ (Рис.4.2б). Тогда

(R₀ , М₀) ~ (R₀, (R, R )) ~ (R, (R₀, R ) ~ R ,

поскольку (R₀, R ) ~ 0. Таким образом, система (R₀, М₀) действительно эквивалентна равнодействующей R, линия действия которой проходит на расстоянии d = M₀/ R₀ от центра приведения.

Следствием этого случая приведения является

Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей плоской системы сил)

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно произвольного центра О равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра.

Выбирая центр О, о котором идет речь в теореме, в качестве нового центра приведения системы сил, состоящей из единственной силы  равнодействующей R, и учитывая, что R = R₀ получим:

M₀ (R) =  R d =  RM₀/ R₀ = M₀ =  M₀ (P_i )

4.4. Уравновешенная система сил

Необходимым и достаточным условием равновесия плоской системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента системы:

R₀ = 0, M₀ = 0. (4.2)

Из этого условия следуют уравнения равновесия плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах:

1) Первая форма:

 M_A = 0;

 X = 0; (4.3)

 Y = 0.

2) Вторая форма:

 M_A = 0;

 M_B = 0; (4.4)

 Y = 0, где ось Oy неперпендикулярна отрезку АВ.

3) Третья форма:

 M_A = 0;

 M_B = 0; (4.5)

 M_С = 0, где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, уравнения (4.3), (4.4) или (4.5) эквивалентны условиям (4.2) и наоборот.

В самом деле, условие R₀ = 0 означает, что R₀= R₀ = 0. Поэтому с учетом (4.1) : R₀² = (S X)² + (S Y)² = 0, откуда и следуют два последних уравнения (4.2).

Первое из уравнений (4.3) получается из условия равенства нулю главного момента, если в качестве центра приведения взять точку А.

Докажем теперь, что уравнения (4.4) эквивалентны условиям равновесия системы (4.2).

Первое из уравнений (4.4) будет выполняться в двух случаях:

1) система сил, приложенных к ТТ, уравновешена и ее равнодействующая равна нулю;

2) равнодействующая сил, приложенных к ТТ, отлична от нуля, при этом ее линия действия проходит через точку А.

Пусть одновременно выполняются два первых уравнения системы (4.4). Это по-прежнему возможно в двух случаях:

1) равнодействующая R = 0;

2) равнодействующая R  0 и ее линия действия одновременно проходит через точки А и В.

Если в дополнение к этим двум уравнениям выполняется и третье уравнение (4.4), то это означает, что R_y =  Y_i = 0.

При условии, что R неперпендикулярна этой оси – отсюда будет следовать, что R = 0, то есть система сил уравновешена.

Аналогично можно доказать, что условия (4.2) будут следовать из уравнений (4.3) или (4.5).

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. В частном случае для плоской системы сходящихся или параллельных сил уравнения в системах (4.3), (4.4) или (4.5) будут линейно зависимы. Это означает, что определитель системы алгебраических уравнений для определения опорных реакций таких систем сил становится равным нулю.

Например, для системы сил параллельных оси Oy уравнения (4.3) станут линейно зависимыми вследствие того, что второе из уравнений этой системы обратится в тождество, которое выполняется как для уравновешенных, так и для неуравновешенных систем.

Такие уравнения исключают из системы, уменьшая тем самым общее число уравнений для плоской системы сходящихся или параллельных сил с трех до двух.

2. В соответствии с предыдущим замечанием уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oy, можно записать в двух формах:

1) Первая форма:

S M_A = 0; (4.6)

S Y = 0, где ось Oy неперпендикулярна силам системы.

2) Вторая форма:

S M_A = 0; (4.7)

S M_B = 0, где отрезок АВ непараллелен силам системы.

3. Таким образом, если при рассмотрении произвольной плоской системы сил выяснится, что она в действительности является системой сходящихся или параллельных сил, можно упростить решение задачи, воспользовавшись вместо (4.3)-(4.5) системой (4.6) или (4.7) – для параллельных или (2.10) – для сходящихся сил.