Глава 4. Приведение плоской системы сил

Одной из основных задач, решаемых статикой, является замена одной системы сил другой – эквивалентной ей.

Такая процедура позволяет все многообразие систем сил свести к простейшим каноническим системам, классифицировать их и получить уравнения равновесия, необходимые для решения практических задач.

Ключевую роль в проведении таких преобразований систем сил играет следующая теорема.

4.1. Лемма Пуансо

Мы уже выяснили, что силу, приложенную к ТТ, можно переносить вдоль линии ее действия. Сейчас мы увидим, что при определенных условиях эту силу можно переносить даже параллельно своему первоначальному положению.

Лемма Пуансо. Действие силы Р, приложенной к ТТ не изменится, если эту силу перенести в любую точку О этого тела – центр приведения, добавив пару сил с моментом, равным моменту силы Р относительно центра приведения.

Для доказательства рассмотрим силу Р, приложенную к телу в точке А (Рис.4.1а).

Согласно аксиоме 3 действие силы Р на ТТ не изменится, если к ней добавить уравновешенную систему сил: (Р, Р )  0.

Выберем силы этой уравновешенной системы так, чтобы они были равны по модулю и параллельны силе Р (Рис.4.1б) :

Р = Р =  Р .

Тогда полученную систему трех сил можно трактовать как силу Р , приложенную в центре О, и пару сил (Р, Р ) с моментом М (Р, Р ) = М_О (Р ):

Р  (Р, (Р, Р ))  (Р , (Р, Р )) .

Лемма доказана.

Сила Р, приложенная в точке О, называется приведенной, а пара (Р, Р )  присоединенной.

Напомним, что пару (Р, Р ) можно заменить моментом М , величина которого равна моменту силы Р относительно центра приведения О (Рис.4.1в), поэтому:

Р  (Р , (Р, Р ))  (Р, М ).

4.2. Теорема о приведении плоской системы сил

Теорема 4.1. Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой R₀ - главным вектором системы, приложенным в центре приведения и равным геометрической сумме всех сил системы, и главным моментом системы M₀ , величина которого равна алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения.

Доказательство. Рассмотрим произвольную плоскую систему сил: (P₁, P₂, …, P_n).

Воспользовавшись леммой Пуансо приведем каждую силу системы P_i к центру О, заменив ее приведенной силой P_i и присоединенной парой, эквивалентной моменту M_i , величина которого равна моменту силы P_i относительно выбранного центра приведения:

(P₁, P₂, …, P_n)  ((P₁, P₂, …, P_n), (M₁, M₂, ... , M_n)).

Приведенные силы, приложенные в центре приведения О, образуют систему сходящихся сил, которые согласно теореме 2.2 можно заменить равнодействующей R₀ . При этом

(P₁, P₂, …, P_n)  R₀ = P_i = P_i .

Совокупность присоединенных моментов, эквивалентных присоединенным парам, в соответствии с теоремой 3.4 можно заменить моментом, величина которого равна алгебраической сумме присоединенных моментов:

(M₁, M₂, ... , M_n)  M₀ ; M₀ = M_n = M₀ (P_i ).

Таким образом, первоначальная система сил будет эквивалентна:

(P₁, P₂, …, P_n)  (R₀ , M₀),

где R₀ = P_i  главный вектор системы, а M₀ = M₀ (P_i )  главный момент системы относительно центра О.

Отметим, что модуль главного вектора плоской системы сил находится по формуле (2.7):

, ( 4.1)

где X_i , Y_i  проекции силы P_i на оси координат.

ПРИМЕЧАНИЯ:

1. Для плоской системы сил под главным моментом системы часто также понимают величину этого момента.

2. Очевидно, что главный вектор R₀ не зависит, а главный момент M₀ зависит от выбора центра приведения.