Непараметрические методы

Q – критерий Розенбаума применяется в тех случаях когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком – то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q – критерия Розенбаума просто невозможны.

Алгоритм подсчета Q – критерия Розенбаума.

1. Проверить, выполнения ограничений: n₁, n₂ ≥11, n_{1 ≈} n_2.

2. Упорядочить значения отдельно по каждой выборке по возрастанию. Считать 1-ой ту выборку, значения в которой предположительно выше.

3. Определить максимум во второй выборке.

4. Подсчитать количество значений в первой выборке, которые выше максимума 2-ой выборки (обозначим это число S₁).

5. Определить минимальное значение в выборке 1.

6. Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначим это число S₂.

7. Подсчитать Q_эмп по формуле: Q_эмп = S₁+ S₂.

8. По таблице критических значений Q – критерия Розенбаума для данных n₁ и n₂ найти Q_кр на уровне значимости P≤ 0,05.

9. Если Q_эмп ≥ Q_кр то гипотеза H₀ отвергается.

10. При n₁, n₂ ≥26 сопоставить полученное эмпирическое значение с Q_кр =8 (при P≤ 0,05) и Q_кр =10( при P≤ 0,01) Если Q_эмп ≥ Q_кр то гипотеза H₀ отвергается.

Пример 4. У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уровень вербального интеллекта с методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет), 14 из них были студенты физического факультета, 12 – студенты психологического факультета. Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта. Данные представлены ниже.

Физики (X): 132, 134,124,132,135,132,131,132,121,127,136,129,136,136.

Психологи (Y): 126,127,132,120,119,126,120,123,120,116,123,115.

Рассмотрим решение в электронных таблицах MS EXCEL.

1. Найдем МАКС(X) И МАКС(Y), используя функции MS EXCEL:

МАКС(Х)=136, МАКС(Y)= 132.

2. Считаем физиков – выборкой 1, психологов – выборка 2

3. Найдём количество студентов – физиков, у которых показатель выше МАКС(Y), используя функцию СЧЕТЕСЛИ: S₁ =5

4. Найдём МИН(X) = 121 МИН(Y) = 115

5. Найдём количество студентов – психологов, у которых значения меньше МИН(X). S₂=6.

6. Q_эмп=5+6 = 11

7. По таблица критических значений находим Q_кр = 7 (при Р≤0,05).

8. Q_эмп ≥Q_кр

9. Гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости Р≤0,05. Различия достоверны.

Алгоритм подсчета критерия Манна – Уитни

Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого – либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявить различия между малыми выборками и является более мощным, чем критерий Розенбаума. Этот метол определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между рядами. Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Ограничения применимости метода: объём выборок не менее 3 и не более 60.

Рассмотрим решение в электронных таблицах MS EXCEL .

1. Объединим выборки в одну большую выборку, определив группирующий признак.

2. Проранжируем эту выборку.

3. Подсчитаем сумму рангов для каждой группы. (R₁ и R₂).

4. Обозначим Rm =МАКС (R₁, R₂).

5. Обозначим n_m объём выборки с большей суммой рангов.

6. Найдём U_эмп по формуле: U_эмп= n₁*n₂+ n_m*(n_m+1)/2-R_m

7. По таблицам критических значений Манна – Уитни найдём U_кр по заданным объёмам выборок n₁и n₂ на заданном уровне значимости_.

8. Если U_эмп> U_кр , то принимается гипотеза H₀ , т.е. достоверное различие в уровнях признака отсутствует.

Пример 5.

У предполагаемых участников психологического эксперимента, моделирующего деятельность воздушного диспетчера, был измерен уровень вербального интеллекта с методики Д. Векслера. Было обследовано 26 юношей в возрасте от18 до 24 лет (средний возраст 20,5 лет), 14 из них были студенты физического факультета, 12 – студенты психологического факультета. Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта. Данные представлены ниже.

Физики (X): 132, 134,124,132,135,132,131,132,121,127,136,129,136,136.

Психологи (Y): 126,127,132,120,119,126,120,123,120,116,123,115.

Решение.

1.Объединим выборки в одну и подсчитаем ранги. Результаты представлены в таблице 14

Таблица 14

группа	значение	Ранг 0	Ранг 1	поправка	ранг
X	132	6	17	2	8
X	134	5	22	0	5
X	124	17	10	0	17
X	132	6	17	2	8
X	135	4	23	0	4
X	132	6	17	2	8
X	131	11	16	0	11
X	132	6	17	2	8
X	121	20	7	0	20
X	127	13	13	0,5	13,5
X	136	1	24	1	2
X	129	12	15	0	12
X	136	1	24	1	2
X	136	1	24	1	2
Y	126	15	11	0,5	15,5
Y	127	13	13	0,5	13,5
Y	132	6	17	2	8
Y	120	21	4	1	22
Y	119	24	3	0	24
Y	126	15	11	0,5	15,5
Y	120	21	4	1	22
Y	123	18	8	0,5	18,5
Y	120	21	4	1	22
Y	116	25	2	0	25
Y	123	18	8	0,5	18,5
Y	115	26	1	0	26

2. Проверим правильность подсчета рангов.

Сумма рангов равна 351

n=26

n*(n+1)/2 = 26*27/2 =351

Следовательно, ранги подсчитаны верно.

3. Найдем сумму рангов каждой группы, используя функцию СУММЕСЛИ категории

Математические. Синтаксис данной функции:

СУММЕСЛИ ( диапазон; критерий; диапазон суммирования), где

• Диапазон – «группа»

• Критерий – это X или Y

• Диапазон суммирования – это «значение»

Rx=	120,5
Ry=	230,5
Rm=	230,5
nm =	12

Uэмп=	15,5
Uкр=	51

4.

5. U_эмп< U_кр т.е принимается гипотеза H₁, т.е. различия достоверны.