Пример 7.7.

"Спичка зажжена"; "Зажженная спичка поднесена к бумаге". ____________________________________________________ "Бумага воспламеняется".

В нем связь между посылками и следствием носит и вовсе некий физический причинно-следственный характер.

Важнейшим методологическим вопросом, связанным с дедуктивными умозаключениями, является вопрос об определении правильности (верности) умозаключения. Распространенная ошибка здесь состоит в том, что правильность умозаключения отождествляется с истинностью получаемого на основании этого умозаключения вывода: умозаключение считается правильным, если "в результате мы приходим к истине". Это не так. Правильность дедуктивного умозаключения означает, что оно приводит к истинному выводу не всегда, но всякий раз, когда оно исходит из всех истинных посылок. Другими словами, умозаключение считается правильным, если мы, имея посылки и следствия данной структуры (как определено в умозаключении), при условии истинности всех посылок непременно будем получать истинность следствия. Таким образом, чтобы доказать неправильность умозаключения, нужно указать такую его конкретизацию (пример), в которой все посылки были бы истинными, а следствие было бы ложным. Такой пример называется опровергающим (или контрпримером).

Итак, в правильном дедуктивном умозаключении следствие должно быть истинным при условии истинности всех посылок. Отсюда не следует делать вывод, что если среди посылок имеются ложные, то следствие должно быть ложным, хотя и такая ситуация возможна. Следующий пример показывает, что даже при всех ложных посылках правильное умозаключение может дать истинное следствие.

Пример 7.8.

"Если треугольник равносторонний, то он прямоугольный"; "Если треугольник прямоугольный, то его внутренние углы равны". ___________________________________________________________ "Если треугольник равносторонний, то его внутренние углы равны".

Данное умозаключение правильное, так как основано на схеме: (правило 6.14 цепного заключения).

В случае когда среди посылок умозаключения имеются ложные, говорят о наличии в умозаключении фактической ошибки; если же неправильным является само дедуктивное умозаключение, то говорят о логической ошибке.

Логические конструкции теорем

Пусть и два высказывания. Теоремы обычно имеют логическую конструкцию одного из двух видов:

или .

В импликации , применительно к теоремам, высказывание называют условием теоремы, а — заключением теоремы. Формулировку теоремы можно читать, как "из следует ", " влечет ", "если , то ", " необходимо для "," достаточно для ".

Не всякое необходимое условие является достаточным и не всякое достаточное условие является необходимым, т.е. из справедливости теоремы не всегда следует справедливость теоремы . Например, в евклидовой геометрии справедливо утверждение "если две прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости", но неверно утверждение "если прямые лежат в одной плоскости, то они пересекаются".

С каждой теоремой вида можно связать еще по крайней мере три теоремы: обратную, противоположную, обратно-противоположную.

Обратной к теореме называется теорема , в которой условие и заключение по сравнению с исходной теоремой меняются местами. В этом контексте теорему называют прямой теоремой.

Противоположной к теореме называется теорема , в которой условие и заключение исходной теоремы заменяются их отрицаниями.

Обратно-противоположной к теореме называется теорема , в которой условие и заключение исходной теоремы заменяются их отрицаниями и меняются местами.

Из истинности теоремы не всегда следует истинность обратной и противоположной, но всегда следует справедливость обратно-противоположной. Например, справедлива теорема "если натуральное число оканчивается цифрой 2, то его квадрат оканчивается цифрой 4". Обратная теорема "если квадрат натурального числа оканчивается цифрой 4, то само число оканчивается цифрой 2" не справедлива (контрпример: ). Противоположная теорема "если натуральное число не оканчивается на 2, то его квадрат не оканчивается на 4" также не справедлива (тот же контрпример). Обратно-противоположная теорема "если квадрат натурального числа не оканчивается на 4, то само число не оканчивается на 2" справедлива.

Формулировку теоремы можно читать, как " эквивалентно ", "из следует , и наоборот, из следует ", "если , то , и наоборот, если , то ", " необходимо и достаточно для ", " необходимо и достаточно для ", " тогда и только тогда, когда ". Теоремы с такими формулировками называют критериями. Заметим, что теорема эквивалентна конъюнкции , т.е. верны прямая и обратная теоремы одновременно.

Довольно широко встречаются теоремы существования и единственности. Их конструкции включают квантор существования:

— "если , то найдется , что ";

— "если , то существует единственный , что ".

Многие теоремы формулируются с применением квантора общности (так называемые общезначимые теоремы), например,