Ортогональный базис
Опр.3. Векторы а и b евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Опр.4. Система векторов евклидового пространства называется ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы. Система из одного ненулевого вектора считается ортогональной.
Опр.5. Ортогональная система векторов, являющаяся базисом евклидового пространства , называется ортогональным базисом пространства .
Теорема 1. Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидового пространства линейно независима.
Доказательство: «от противного»
Пусть нашлась линейно зависимая
ортогональная система ненулевых векторов
.
Тогда
,
не равные нулю одновременно, такие, что
.
Пусть, для определенности,
.
Н
айдем
скалярное произведение
Значит, любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. ▲.
Теорема 2. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
Доказательство: Пусть
п-мерное
(
)
евклидово пространство, тогда в
пространстве
существует базис, состоящий из п
векторов. Пусть
некоторый базис пространства .
Построим ортогональный базис следующим
образом.
Положим
.
Ищем вектор
в виде
.
Требуем, чтобы
.
Отметим, что
.
Действительно, в противном случае имели
бы
(1) линейно зависима
противоречие. Итак,
.
Ищем вектор
в виде
.
Выясним, как надо выбрать коэффициенты
,
чтобы
Аналогично предыдущему случаю
.
И, наконец, строим вектор
.
Причем
Из построения имеем, что
ортогональная система ненулевых
векторов. Тогда по теореме 1 она линейно
независима. А любая линейно независимая
система, состоящая из п векторов
п-мерного пространства, образует
его базис. Значит,
ортогональный базис пространства .
▲.
Ортонормированный базис
Опр.6. Длиной (нормой) вектора а евклидового пространства называется число, равное арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата вектора а.
Обозначается норма вектора а
следующим образом:
.
Итак,
.
Опр.7. Вектор а евклидового пространства называется нормированным, если его норма равна 1.
Опр.8. Базис евклидового пространства называется ортонормированным, если он ортогонален и все его векторы нормированы.
Теорема 3. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существуют ортонормированные базисы.
Доказательство: Пусть E
п-мерное евклидово пространство,
.
По теореме 2 в пространстве E
существует ортогональный базис
.
Тогда
ортонормированный базис.
Действительно,
▲.
Свойство: Если
ортонормированный базис евклидового
пространства и
,
то
ВОПРОС № 7 Простые и составные числа. Основная теорема арифметики о разложении чисел на простые множители и её применения.
Опр.1. Натуральное число р, большее 1, называется простым числом, если р не имеет натуральных делителей, отличных от р и 1.
Опр.2. Натуральное число т, большее 1, называется составным числом, если т имеет натуральные делители, отличные от т и 1.
Таким образом, очевидно, что если т
составное, то
,
где
.
Число 1 не является ни простым, ни составным.
Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…
Примеры составных чисел: 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
Опр.3. Целые числа а и b называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.