Координаты вектора

О пр.3. Пусть  п-мерное векторное пространство над полем Р;  базис Тогда . Коэффициенты этого разложения называют координатами вектора х в базисе .

Легко показать, что справедливо следующее предложение:

Предложение: Координаты любого вектора в данном базисе конечномерного векторного пространства определяются однозначно.

Доказательство: Допустим, что некоторый вектор х пространства имеет 2 разложения по базисным векторам :

. Т.е. разложение единственно. ▲.

Замена базиса и преобразование координат

Пусть  п-мерное векторное пространство над полем Р и и  2 базиса . Выразим каждый вектор (2) через вектора (1):

Матрица

Выразим (1) через (2):

Матрица

Как связаны между собой матрицы А и В? Чтобы установить это, подставим в (4) выражения из (3):

то есть , значит матрицы перехода от базиса (1) к базису (2) и от базиса (2) к базису (1)  это взаимно обратные матрицы.

Выясним, как изменяются координаты векторов при изменении базиса.

Пусть вектор х имеет в базисах (1) и (2) координаты и , т.е. , , тогда

Итак,

Теорема 3. Координаты суммы векторов в данном базисе равны сумме соответствующих координат самих векторов в этом базисе.

Доказательство: Пусть даны два вектора  х и у и в базисе их координаты , тогда .

Значит ,

т.е. координаты суммы векторов равны ▲.

Замечание: теорему можно расширить на любое число слагаемых векторов.

Теорема 4. Координаты произведения вектора на элемент λ поля Р в данном базисе равны произведению соответствующих координат вектора в этом базисе на элемент λ.

Доказательство: Пусть дан вектор х, имеющий в базисе координаты и дан , тогда . Найдем координаты произведения вектора х на элемент : ,

т.е. координаты произведения вектора х на элемент равны ▲.

Вопрос № 6 Евклидовы пространства. Ортонормированные базисы.

Опр.1. Пусть   векторное пространство над полем действительных чисел . Скалярным умножением в пространстве  называется отображение, ставящее в соответствие каждой паре векторов  действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов и обозначаемое символом так, что выполняются следующие условия:

1.  .

2.  .

3.  .

4. , .

Опр.2. Векторное пространство  над , в котором определено скалярное умножение, называется евклидовым пространством.

Свойства скалярного умножения векторов:

1)  .

Доказательство: ▲.

2)  .

Доказательство: ▲.

3)  .

Доказательство: , . Тогда ▲.

Примеры:

1. .

2. .

3. Всякое ненулевое конечномерное векторное пространство над полем можно превратить в евклидово пространство следующим образом: выберем в базис, пусть этот базис  . Тогда . Формула определяет скалярное произведение в .