Характеристика поля
Не все свойства числовых полей сохраняются
в случае произвольных полей. Так,
складывая число 1 само с собою несколько
раз, т.е. беря любое целое положительное
кратное единицы, мы никогда не получим
нуля 0. Это имеет место не для всех полей.
Например, рассмотрим поле
,
в нем
,
то есть в поле
нашлось целое кратное единицы
,
равное нулю
.
Опр.2. Пусть е – единица
поля Р. Наименьшее натуральное число
m такое, что
(если оно существует), называется
характеристикой поля Р.
Если же любое натуральное кратное единицы е поля Р отлично от нуля, то говорят, что поле Р имеет характеристику нуль.
Очевидно, что характеристика поля , где р простое число, равна р.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Характеристикой поля является либо нуль, либо простое число.
Доказательство: Если характеристика поля Р есть нуль, то все доказано.
Пусть она не есть нуль, а натуральное
число m и допустим,
что m не является
простым числом. Число
,
т.к. в противном случае
,
чего в поле нет. Так как m
составное число
такие, что
,
причем
и
.
Тогда
(т.к. в поле нет делителей нуля), а это
означает, что m не
является наименьшим натуральным числом
с таким свойством, что противоречит
тому, что m
характеристика поля P,
значит m
простое число. ▲
ВОПРОС № 4 Определение векторного пространства. Свойства. Примеры векторных пространств.
Опр.1. Пусть
аддитивная абелева группа, т.е. на
определена бинарная операция «+» такая,
что: 1) «+»
ассоциативна;
2) «+» коммутативна;
3)
;
4)
.
Р
поле. Пусть также определено действие
умножения элементов
на элементы поля Р, т.е. указан закон,
по которому
ставится в соответствие единственный
элемент
,
который называется произведением
λ на а и обозначается
.
Тогда
называется векторным пространством
над полем Р, если:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Элементы называются векторами, а элементы поля Р – скалярами.
Замечание: группа по сложению, нейтральный элемент относительно «+» обозначаем . Нулевой элемент поля Р обозначаем 0.
Свойства:
Так как группа относительно «+», то для выполнены все свойства группы, а именно: 1) нулевой вектор единственный;
2) Для любого вектора
существует единственный противоположный
вектор
;
3) Уравнение
имеет единственное решение
.
Это решение
обозначается
и называется разностью векторов
.
Отметим дальнейшие простейшие свойства векторного пространства:
4)
(0 – нулевой элемент поля Р,
нулевой вектор из
).
Доказательство:
.
Итак,
5)
.
Доказательство:
.
6) Если
,
то
Доказательство: пусть
и
,
покажем, что тогда
Так как
,
то
Теперь имеем, что
7)
.
Доказательство:
8)
.
Доказательство:
9)
.
Доказательство:
