Свойства делимости:

1) .

2) .

3) .

4) .

П. 2. Деление с остатком

Опр.2. Разделить целое число а на целое число b ≠ 0 с остатком  это значит найти два таких целых числа и , что и . Число называют неполным частным, а  остатком.

Возникают вопросы: 1) всегда ли возможно выполнить деление с остатком; 2) если можно, то каким количеством способов. Ответ даёт следующая теорема:

Теорема 1. Любое целое число можно разделить на любое целое число с остатком, притом единственным образом.

Доказательство: 1. Возможность деления с остатком. Для числа выполняется одно из двух условий  или . Рассмотрим оба этих случая.

а) Пусть . Расположим все целые числа, кратные числу , в порядке возрастания:

Среди чисел этого ряда рассмотрим все числа, не превосходящие числа , и наибольшее из них обозначим через . Тогда имеем: и , то есть

Обозначив , получим , . Осталось заметить, что в данном случае , то есть .

б) Пусть , тогда . По только что рассмотренному случаю, число а можем разделить на положительное число , то есть : , .

Отсюда , и поскольку , имеем, что .

Итак, возможность деления с остатком для целых чисел и доказана.

2. Единственность деления с остатком. Допустим, что существуют 2 неполных частных и 2 остатка и : ,

,

Тогда или , причем . А тогда по свойству 3 делимости целых чисел , тогда .

Итак, единственность деления с остатком для целых чисел и доказана. ▲.

П. 3. Делимость многочленов

Пусть  кольцо многочленов одной переменной х над полем Р.

О пр.3. Пусть . Говорят, что делится на (и пишут ), если .

Свойства делимости многочленов:

1) .

2) .

Так как .

3) .

Теорема 2 (о делении многочленов с остатком). Для любых многочленов существуют единственные многочлены такие, что , при этом или .

(Знать определение степени многочлена, высшего (старшего) члена многочлена).

Доказательство: 1. Возможность деления с остатком. Пусть , .

1 случай. Если или , то и существование представления доказано.

2 случай. Пусть теперь , , .

Рассмотрим многочлен . , так как

многочлены и имеют одинаковые высшие члены , которые при вычитании взаимно уничтожаются.

Если или , то процесс закончен и искомое представление .

Пусть теперь и старший коэффициент многочлена равен , то строим многочлен . Аналогично устанавливаем, что .

Если или , то процесс закончен.

Пусть теперь , старший коэффициент равен . Строим многочлен . .

И так далее…

Получим многочлены , степени которых, являясь целыми неотрицательными числами, удовлетворяют неравенствам: Следовательно, через конечное число шагов получим такой многочлен , что или . .

Сложив почленно равенства , , ,…, , получим

. То есть , возможность деления с остатком доказана.

2. Единственность деления с остатком.

Допустим, что

, где или

, где или

Отсюда имеем:

Если , то есть , то так как , то из равенства имеем, что и единственность деления с остатком доказана.

П усть теперь . Тогда из равенств . Если при этом , то . Значит и . Единственность деления с остатком доказана. ▲.

Пример: Разделить многочлен на .

Значит .

ВОПРОС № 12 Алгоритм Евклида для целых чисел и для многочленов. НОД и НОК.

Опр.1. Пусть  целые числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля. Наибольшим общим делителем чисел а₁,…,а_k называется такое целое число , что:

1) ;

2)  общий делитель этих чисел (то есть ).

3) делится на любой общий делитель чисел .

Обозначается НОД чисел так: .

Теорема 1. Если НОД целых чисел существует, то он определяется однозначно.

Доказательство: Пусть и .

Так как  общий делитель , а  их НОД, то .

Так как  общий делитель , а  их НОД, то .

А так как , , то из и . ▲.

Теорема 2. НОД целых чисел равен НОД их модулей, то есть .

Поэтому в дальнейшем можно рассматривать НОД натуральных чисел.