Тема 3. Трехфазные цепи.

Решения задач рассматриваются на примере цепи, изображенной на рис. 13., в которой U_A = 220 В ; х_А = 20 Ом ; φ = 19 ° ; R_н = 40 Оm ; x_н = 30 Om .

Рис. 13. Схема симметричной трехфазной цепи

ЗАДАЧА 1. Найти токи и напряжения U_ав , U_вс ,U_са , при отсутствии конденсаторов.

Так как трехфазная цепь симметрична, то расчет каждой фазы можно

произвести отдельно друг от друга, предполагая, что в цепи присутствует

нулевой проводник. Обычно рассчитывают токи и напряжения фазы А, а токи и

напряжения других фаз получают, сдвигая векторы токов и напряжений на

(-120°) и (+120°) для фазы В и С соответственно U_A = 220 В.

Тогда

U_В = U_А · exp(-j120°) = 127exp(-j120°) = -63,5 – j110 B;

U_С = U_А · exp(j120°) = 127exp(j120°) = -63,5 + j110 B;

Для определения токов, необходимо знать сопротивления фаз: сопротивление нагрузки

Z_Н = R_H +jx_Н = 40 + j30 = 50exp(j36,9°) Ом.

Общее сопротивление каждой фазы

Z = R_Н + jx_А = 40 + j30 + j2 = 40 + j32 = 51exp(j38,7°) Ом.

Ток фазы А по закону Ома

Токи фаз В и С:

I_B =I_Aexp(-j120°) = 2,48exp(-j38,7°)exp(-j120°) =

=2,48exp(-j158,7°) = -2,31- j0,9 A;

I_С = I_Aexp(j120°) = 2,48exp(-j38, 7°)exp(j120°) =

=2,48exp(j83,3°) = 0,37 + j2,45 A.

Искомые напряжения U_ав , U_вс и U_са определяют по исходной цепи, составляя уравнение II закона Кирхгофа для соответствующего контура

U_ав = I_A Z_Н – I_B Z_Н = (I_A - I_B)Z_Н = (1,94 – j1,55 + 2,31 +j0,9)·50exp(j36,9°) = 1 =214,71exp(j28,2°) = 189,21 + j101,5 В;

U_вс = U_ав exp(-j120°) = 214exp(j28,2°)exp(-j120°) = 214,71exp(-j91,8°) =

= -6,71-j214,6 B;

U_са = U_ав exp(j120°) = 214exp(j28,2°)exp(j120°) = 214,71exp(j148,2°) =

= -182,5 + j113,11 В.

Определим активную, реактивную и полную мощности трехфазного источника энергии при отсутствии в цепи конденсаторов.

Полная мощность

S = 3U_A I_A = 3U_A I_A = 3 · 220 · 2,48 = 945 ВА.

Активная

Р = S·cosφ_A = 945·cos[0 - (-38,7°)] =737,5 Вт.

Реактивная

Q = S·sinφ_A = 945·sin[0 - (-38,7°)] = 590,8 вар.

Здесь φ_A - угол между вектором напряжения U_A и вектором тока I_A.

ЗАДАЧА 2. Определить значения емкостей конденсаторов, при которых угол между напряжением U_a и током I_A будет равен φ.

Построим векторную диаграмму токов фазы А. (рис. 14), предполагая

известным вектор напряжения U_a.

Уменьшим все стороны диаграммы в U_a раз. Из полученного треугольника проводимостей следует (рис. 15)

Рис. 14. Схема замещения одной фазы трехфазной цепи

Y_Н cosφ_Н = Y_HC cosφ

Y_Н sinφ_Н =Y_HC sinφ+Y_С Y_HC - проводимость двух параллельных ветвей: нагрузки и емкости (рис.14).

Рис. 15. Векторная диаграмма токов и треугольник проводимостей

Из первого уравнения последней системы уравнений

Из второго - Y_C = Y_H sinφ_Н - Y_HC sinφ = Y_H sinφ_Н - cosφ_Нcosφ·Y_H ·sinφ

Учитывая, что sinφ_Н = x_H/Z_Н; cosφ_Н = R_Н/ Z_Н , получим:

где Z_H² = R_H² + x_Н² = 40² + 30² = 2500 Ом².

Из последнего уравнения

Так как в исходной цепи конденсаторы соединены в треугольник, то 1

ЗАДАЧА 3. Решить задачу 1 при наличии в цепи конденсаторов.

Найдем емкостное сопротивление конденсатора в схеме замещения (рис. 14). 1

Сопротивление двух параллельных ветвей: х_сλ и нагрузки Z_H

Общее сопротивление фазы А

Z=jx_л + Z_HC = j·2 + 55,8 + j·19,24 = 55,8 + j·21,24 = 59,78exp(j20,8°) Ом.

Ток фазы А 1111

Токи фаз В и С

I_B = I_A exp(-j120°) = 2,12exp·(-j20,8°)· exp(-j120°) = 2,12exp(-j140,8°) =

= - l,647 - j1,342 A;

I_C= I_A exp(j120°) = 2,12exp(j20,8°)·exp(j120°) = 2,12exp(j99,2°) =

= - 0,34 + j2,097 A.

Напряжение на параллельных ветвях фазы А

U_a = I_A Z_HC = 2,12exp(-j20,8°)·59,1exp(j19°) =

=125,56exp(-j1,8°) = 125,5-j3,97 В.

Напряжения U_в и U_c

U_в = U_a exp(-j120°) = 125,56exp(-j1,8°)·exp(-j120°) = 125,56exp(-j124,8°) =

= -66,18 -j106,69 B;

U_c = U_a exp(j120°) = 125,56exp(-j1,8°)·exp(j120°) = 125,56exp(-j118,2°) =

= - 59,31 + j110,66 B.

Ток нагрузки фазы а

I_A = = = 2,51exp(-j38,7°) = 1,96 – j1,57 A;

Токи фаз в и с

I_в = I_аexp(-j120°) = 2,51exp(-j38,7°)∙ exp(-j120°) =

=2,51exp(-j158,7°) = - 2,34- j0,91A;

I_с = I_аexp(-j120°) = 2,51exp(-j38,7°)∙ exp(j120°) =

= 2,51exp(j81,3°) = 0,38 + j2,48 A;

Линейные напряжения трехфазного приемника

U_ав = U_a – U_в = 125,5 - j3,97 - (-66,18 - j106,69) =

=191,68 + j102,72 = 217,47exp(j28,2°) B;

U_вс = U_ав exp(-j120°) = 217,47exp(j28,2°)∙ exp(-j120°) =

=217,47exp(-j91,8°) = - 6,83 - j217,36 B;

U_ca = U_ав exp(j120°) = 217,47exp(j28,2°)∙ exp(j120°) =

=217,47exp(j148,2°) = - 183,43 + j114,6 B.

Для определения токов в конденсаторах найдем емкостное сопротивление конденсатора в исходной цепи

x_с = 3 x_сλ = 3∙154,06 = 462,2 Ом.

Токи конденсаторов