4. Завдання для самостійного розв’язування.

За номером варіанта зі збірника індивідуальних завдань.

Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів. / Укладачі: М. В. Дзюба, Л. М. Карпенко, О. В. Черскова – Слов'янськ, 2007.

Тема: Знаходження математичного сподівання дискретної та неперервної випадкової величини.

1. Теоретичні вказівки

Означення. Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі , називається величина:

Якщо простір є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина

Якщо = , то

Якщо = , то

Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій: М(С)= С.

Справді сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з ймовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а тому М(С)= С*1=С.

2. М(СХ) = СМ(Х)

Для дискретної випадкової величини згідно з означенням маємо:

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то М(АХ+В)=АМ(Х)+В

Для дискретної випадкової величини згідно з означенням маємо:

Для неперервної:

2. Питання до теми

1. Що називається математичним сподіванням випадкової величини?

2. Чому дорівнює М(С), де С – стала величина?

3. Якщо А та В – сталі величини, то чому дорівнює М(АХ+В)? Довести.

4. Що характеризує математичне сподівання випадкової величини?

3. Розв’язання завдань

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

хі	-6	-4	2	4	6	8
рі	0,1	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2

Знайти М(Х).

Розв’язання. Скориставшись означенням, маємо:

Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей

обчислити М(Х).

Розв’язання. Скориставшись означенням, маємо:

Приклад 3. За заданою щільністю ймовірностей

обчислити М(Х).

Розв’язання.

Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей

обчислити М(Х).

Розв’язання. Для обчислення М(Х) необхідно знайти щільність ймовірностей

Тоді:

.

Мода та медіана випадкової величини

Модою (Мо) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f(Mo)=max

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл ймовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди – двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх моди називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконується рівність ймовірностей подій:

Отже, медіану визначають із останнього рівняння.

Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, - величина стала і дорівнює 0,8.

Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х – числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.

Розв’язання. Можливі значення випадкової величини:

Х=0,1,2,3.

Імовірності цих можливих значень такі:

Запишемо закон таблицею:

хі	0	1	2	3
рі	0,008	0,096	0,384	0,512

Із таблиці визначаємо Мо=3.

Отже, дістаємо одномодальний розподіл.

Приклад 6. За заданою щільністю ймовірностей

Знайти а і F(x), Мо.

Розв’язання.

За умовою нормування маємо:

Щільність ймовірностей зі знайденим а матимемо вигляд:

Маємо f(x) =f(1) = max. Отже, Мо =1.

Визначаємо Ме:

Отже,

Для визначення Ме застосовуємо рівняння:

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

,

Або при Х :

Отже, Ме – можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що

пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х=Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f(x), на дві рівні частини.