3.Касательные конусы

Определение 3.1. В линейном пространстве Е конусом на­зывается всякое непустое множество К Е, у которого для каждого элемента х К справедливо включение х К при всех > 0.

В частности, если конус К является выпуклым множеством, то его называют выпуклым конусом, причем в этом случае для лю­бых точек х, у К и чисел > 0, µ > 0 справедливо включение х +µу К, т. е. справедливы равенства К + К = К и К ∸ К = К (последнее равенство докажем в лемме 3.4).

Далее в этом параграфе считаем, что мы рассматриваем множест­ва в банаховом пространстве Е.

Простейший пример выпуклого конуса, связанного с множест­вом А, дает коническая оболочка множества А, т.е. множество вида

con А = {х Е| х = , ≥0, A, m N}

Лемма 3.1. Коническая оболочка множества А удовлетворя­ет равенству

conA=

Доказательство. Из определений конической и выпуклой обо­лочек сразу следует включение

μ co A C con A, для любого μ≥0

Пусть теперь х con А. По определению это значит, что сущест­вуют число m N, числа ≥0 и точки А, где i такие, что .

Определим число = . Если =0, то х = 0, т.е. .

Пусть > 0. Определим числа = и точку у = . Очевидно, что все ≥0 и , откуда получаем, что y .

Кроме того, имеем, что x= , т.е. x .

Отметим следующее простое свойство конической оболочки.

Лемма 3.2. Пусть выпуклые множества А_k С Е, где k , таковы, что 0 .Тогда справедливо равенство

= con ( )

Доказательство. Пусть x con ( )

тогда по лем­ме 3.1 существуют число у > 0 и точка y такие, что

x=μу. Так как для любого к имеем у , то отсюда и x , т.е. x .

Пусть теперь x . Это значит, что существуют числа >0 и точки такие, что х = , при всех k= , т.е. Определим число Тогда в силу выпуклости множества для любого числа λ [0,1) имеем

= (1-λ)0+λ .

Выбирая λ = , получаем включение . В итоге

, т.е. x con ( ).

Отметим еще одно очевидное свойство выпуклых конусов.

Лемма 3.3. Пусть — выпуклые конусы из линейного пространства Е. Тогда справедливо равенство

+К₂ = со ( U К₂).

Доказательство очевидно.

Напомним, что в банаховом пространстве Е расстояние от точ­ки х Е до множества A C Е мы определяем по формуле σ(х, А) = inf {║x-y║|y

Большой интерес к конусам связан с понятием касательного ко­нуса, т. е. конуса, образованного из касательных векторов.

Вектор v Е называется касательным ко множеству А Е в точ­ке а , если существуют число ε > 0 и отображение r: [0,ε]⟶Е такие, что справедливо включение а + λv + r (λ) при всех λ (0,ε], причем

Нетрудно проверить, что совокупность всех касательных векторов к множеству А в некоторой точке а совпадает со следующим конусом.

Определение 3.2. Нижним касательным конусом ко мно­жеству А Е в точке а называется множество вида

(А;а) = {v Е| (A-a))=0} (3.2.)

Приведенное определение нижнего касательного конуса можно пе­реписать в более естественном виде.

Предложение 3.1. Вектор v принадлежит конусу (А;а) тогда и только тогда, когда для любой последовательности по­ложительных чисел { }, сходящейся к нулю, найдется последова­тельность точек { } сходящаяся к точке v и такая, что справед­ливо включение

a+ для любого k

Доказательство следует из определения.

В случае, когда множество А является выпуклым множеством, легко показать, что для точки а конус (А;а) является вы­пуклым замкнутым множеством, и справедливо равенство (доказа­тельство которого будет содержаться далее в доказательстве предло­жения 2.6)

(А; а) = (А — а).

Для выпуклых множеств и таких, что a , очевидно, справедливо включение ( ; а) С ( ; а).

Таким образом, для выпуклых множеств понятие касательного конуса определяется достаточно просто и однозначно.

В случае, когда множество А не является выпуклым, для него кроме понятий конической оболочки множества А — а и нижнего ка­сательного конуса (А;а) известны другие понятия конусов, также называемых касательными.

Определение 3.3. Верхним касательным конусом (иначе кон­тингентным конусом ко множеству A C E точке а называется множество вида

Т_В(А; а) = {v Е | . (3.3)

Предложение 3.2. Вектор v принадлежит конусу Т_в(А;а) тогда и только тогда, когда существуют последовательность по­ложительных чисел { }, сходящаяся к нулю, и последовательность точек { } С Е, сходящаяся к точке v, такие, что справедливо

включение

a+ для любого k

Определение 3.4. Касательным конусом Кларка ко множеству А С Е в точке а называется множество вида

где стремление х ⟶ а совершается по множеству А, т. е. х А.

Предложение 3.3. Вектор v принадлежит конусу (А; а) тогда и только тогда, когда для любой последовательности по­ложительных чисел { }, сходящейся к нулю, и любой последова­тельности точек {х_к} С А, сходящейся к точке а, существует последовательность точек {v_k} С Е, сходящаяся к точке и, такая, что справедливо включение

Легко убедиться в том, что каждый из полученных выше конусов является замкнутым множеством, причем, очевидно, справедливы включения

Т_С(А; а) С Т_Н(Л; а) С Т_В(А; а) С . (3.5)

Легко показать, что, если множество А выпукло, то имеет место равенство всех указанных конусов , но если множество А не выпукло, то все касательные конусы могут быть различными (покажем далее на примере). Если а А, то очевидно, что Тс(А; а) = Е.

Предложение 3.4. Касательный конус Кларка Тс(А;а) яв­ляется выпуклым замкнутым конусом.

Доказательство. Пусть точки v и и принадлежат кону­су Тс (А; а). Для доказательства предложения достаточно доказать, что v + u принадлежат этому же конусу. В силу предложения 3.3 рассмотрим любую последовательность положительных чисел { }, сходящуюся к нулю, и любую последовательность точек {х_к} С А, сходящуюся к точке а. Требуется показать, что существует последовательность точек {w_k}, сходящаяся к v + и и такая, что справед­ливо включение

(3.6)

Так как v Тс(А;a), то существует последовательность { }, схо­дящаяся к v и такая, что справедливо включение . В свою очередь так как последовательность у_к = х_к + также сходится к точке а, а и Тс(А; а), то существует последова­тельность { }, сходящаяся к u такая, что справедливо включе­ние у_к + . Отсюда получаем включение (3.6), в котором w_k = v_k и_к.

Замечание 3.1. Полученное выше свойство выпуклости ка­сательного конуса Кларка очень удобно, так как приближение не­выпуклого множества в окрестности некоторой его точки выпуклым касательным конусом позволяет использовать все преимущества вы­пуклого анализа для невыпуклых множеств. Остальные касательные конусы могут оказаться невыпуклыми. Однако касательный конус Кларка может представлять собой очень малую часть верхнего (и даже нижнего) касательного конуса и тем самым слабо отражать свойства исходного множества.

Пример 3.1. Рассмотрим множество А: {(х,у) R² | у = |x|, х (— , + )}. Очевидно, что справедливы равенства (A;0) = (A;0) = A и (A; 0) = {0}.

Мы укажем простой алгоритм, по которому во всяком конусе можно выбрать выпуклый под конус, отличный в общем случае от касательного конуса Кларка. Это позволит построить другие классы выпуклых касательных конусов.

Лемма 3.4. Для всякого конуса К множество К К являет­ся его выпуклым подконусом. В случае, когда сам конус К является выпуклым, справедливо равенство К =К ∸ К.

Доказательство. Выберем любую точку х К∸К. По опре­делению геометрической разности это значит, что х + К C К. Так как 0 , то получаем, что x , т.е. К ∸ К C К. Кроме того, для любого числа λ > 0 получаем λx+λK C λK, откуда в силу равенства λK=K получаем,

что λx т. е. множество является конусом. Докажем его выпуклость. Для любых точек x,y имеем включения x+K C K и у + K C K, откуда получаем x+y+ K= x+ (y+K) C x+K C K, т.е. x+y

Пусть теперь конус K является выпуклым. Это значит, что для любых x,y справедливо включение x+y , т.е. x+K C K , откуда следует, что x т.е. равенство K=K∸ K.

Лемма 3.5. Для всякого замкнутого конуса К справедливы равенства

T_H(K;0)=T_B(K;0) = K, (3.7)

Т_С(К; 0) =К ∸ К. (3.8)

Доказательство. Равенство (3.7), очевидно, следует из опре­делений конусов. Докажем равенство (3.8). Рассмотрим произволь­ные точки v Тс{К; 0) и у К. По предложению 3.3 для любой последовательности чисел > 0, сходящейся к нулю, и последова­тельности точек Xk = (тоже сходящейся к точке 0) сущест­вует последовательность точек , сходящаяся к точке v и такая, что справедливо включение . Умножая это вклю­чение на и учитывая равенство = К, получаем включе­ние у + К. В силу замкнутости конуса К в пределе получаем, что y+v , откуда следует, что v К.

Докажем обратное включение. Рассмотрим точку v , т. е. v+K Тогда для любой последовательности чисел 0, сходящейся к нулю, и любой последовательности точек , сходящейся к нулю, имеем , откуда в силу условия на v получаем включение v+ . Умножая последнее вклю­чение на получаем включение , которое в силу предложения 3.3 означает, что v .

Приведем пример «другого» выпуклого конуса, порожденного за­данным множеством.

Определение 3.5. Асимптотическим конусом множества А С Е называется множество

0⁺А = {y }.

Легко проверить, что для любого непустого выпуклого множест­ва А множество 0⁺А является выпуклым конусом, который может оказаться незамкнутым. Используя операцию геометрической разнос­ти, из определения 3.5 легко доказать равенство

0⁺А = А∸А. (3.9)

Например, для множества (0) (как и для всякого ограниченного множества) конус 0⁺ (0) состоит из одной точки {0}, а для мно­жества А = {(х,у) | у ≥ х²} конус 0⁺А является лучом {(0, λ) | λ ≥ 0}.

Сравнивая выражение для асимптотического конуса (3.9) и утверждение леммы 3.4, приходим к следующим определениям.

Определение 3.6. Нижним асимптотическим касательным конусом множества А в точке а называется множество

Т_ан(А; а) = Т_Н(А; a)∸ Т_Н(А; а). (3.10)

Определение 3.7. Верхним асимптотическим касательным конусом множества А в точке а называется множество

(А; а) = ( ). (3.11)

Теорема 3.1 (Е.С. Половинкин). Конусы Т_ан(A;а) и Т_ав(А;а) выпуклы и замкнуты. При этом справедливы равенства и включения

Т_ан(A;а) =Т_с(Т_н(A;а); 0), (3.12)

Т_ав(А; а) = (3.13)

Т_С(A; а) С Т_ан(A; а) С Т_ав(A; а) С Т_В(A; а), (3.14)

Т_ан(А;а) C Т_н(А;а). (3.15)

Доказательство. Выпуклость конусов Т_ан(A;а) и Т_ав(A;а), а также среднее включение в (3.14) следуют из определений кону­сов и леммы 3.4. Равенства (3.12) и (3.13) справедливы в силу определений конусов и леммы 3.5. Так как для любого замкнутого конуса в силу лемм 3.4 и 3.5 справедливо включение {К; 0) C К, то отсюда и из равенства (3.12) следует включение (3.15).

Левое включение в (3.14) в силу определения 3.6 эквивалентно включению

Т_С(А; а) + Т_Н(А; а) С Т_Н(А; а). (3.16)

Докажем это включение. Выберем произвольные точки v Т_н(А;а) и w Тс (А; а), а также произвольную последовательность чисел > 0, предел которой равен нулю. В силу предложения 3.1 существует последовательность точек Е такая, что и справедливо включение а + N. Определим последовательность точек из равенства . Очевидно, что . В силу предложения 3.3 существует последовательность точек такая, что и справедливо включение Это означает, что , откуда следует, что v+w , т.е. включение (3.16) доказано.

Докажем правое включение в (3.14). Выберем произвольную точку v Т_ав(A;а). Тогда по определению конуса с точностью до замыкания существуют точки и Т_ан(A; а) и w Т_В(А; а)C Т_В(А; а ) такие, что v = и + w. Из включений (3.15) и (3.5) следует, что и Т_В(А; а), откуда v=w+u Т_В(А; а) С Т_В(А; а). Теорема до­казана полностью.

Предложение 3.5. Пусть даны множество А С Е и точ­ка a . Для любого числа ε > 0 определим множество , удовлетворяющее включению A . Тогда для каждого из касательных конусов Тс (А; а), Т_ан(A;а)_; (А;а), Т_ав(A;а), Т_в(А;а) справедливо равенство с соответствующим касательным конусом ко множеству , т. е.

Tl(A; а )= Tl( ), где L {С, н, в, ан, ав}. (3.17)

Доказательство. В силу определений 3.6 и 3.7 равенст­во (3.17) достаточно доказать лишь при L {C, н, в}. Покажем это на примере конуса Тс (А; а). Пусть v Тс (А; а). По предложению 3.3 для любой последовательности положительных чисел { }, сходящей­ся к нулю, и любой последовательности точек { } С А, сходящейся к точке а, существует последовательность точек { } С Е такая, что .

Так как последовательность точек { } сходится к точ­ке а А, то для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что при всех к≥ имеем и , откуда следует, что v Тс( ;а).

В заключение покажем связь различных касательных конусов в случае, когда множество А является локально выпуклым в точ­ке а А.

Определение 3.8. Множество AC Е называется локально выпуклым в точке а , если существует число ε > 0 такое, что множество = (а) выпукло.

Предложение 3.6. Если множество А С Е является локаль­но выпуклым множеством в точке а , то контингентный ко­нус Т_в(А;а) является выпуклым конусом и справедливо следующее равенство конусов:

Т_С(А; а) = Т_ан(А; а) = Т_Н(А; а) = Т_ав(А; а) = Т_В(А; а). (3.18)

Доказательство. В силу определения 3.8 выберем число ε>0 такое, что множество = (а) выпукло. В силу теоре­мы 3.1 и предложения 3.5 достаточно показать включение

Con ( - а) С Т_с ( ; а).

Пусть v con ( — а). Тогда существует число μ > 0 и точка b такие, что b = а + . Так как а и множество выпукло, то справедливо включение а + τv = (1 — τμ)а +μτb для всех τ . Пусть заданы любые последовательность чисел 0, сходящаяся к нулю, и последовательность точек , сходящаяся к точке а. Рассмотрим последовательность точек = (b — )μ- Она, очевидно, сходится к точке и, и справедливо включение

Таким образом, в силу предложения 2.3 показали, что v Т_С(А; а)

причем оно может быть строгим.