МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Башкирский государственный университет» (БашГу)

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра Высшей алгебры и геометрии

Курсовая работа

«Конусы в упорядоченных векторных пространствах»

Направление подготовки 010100.62 – Математика

Выполнила: студентка 3-го курса группы 36,

Смирнягина А.Н.

Научный руководитель, д. Ф-м. н., профессор

______________Б. Н. Хабибуллин

«___»_____________2014 г.

Уфа-2014

Содержание:

1) Введение.

2) Основная часть.

1. Упорядоченные векторные пространства.

-Определение конуса

-Предпорядок

-Упорядочивающий или острый конус

2. Выпуклые конусы

3. Касательные конусы

-Определение конуса

-Нижний конус

-Конус Кларка

-Асимптотический конус

-Касательный верхний конус (контингентный)

-Касательный верхний асимптотический

3) Заключение.

4) Список использованной литературы. Введение

Данная курсовая работа посвящена изучению конусов в упорядоченных векторных пространствах, понятиям, связанным с ними. В работе рассматриваются различные виды конусов. В целом изучается роль конусов в выпуклом и функциональном анализах.

1.Упорядоченные векторные пространства

Определение 1.1 Пусть (X, R, +, ·) — векторное пространство. Пусть, далее, σ — предпорядок в X. Говорят, что σ согласован с векторной структурой, если σ — конус в . В этом cлучае пространство X называют упорядоченным векторным пространством. (Точнее говорить о предупорядоченном векторном пространстве (X, R, +, ·, σ), сохраняя термин «упорядоченное векторное пространство» для тех ситуаций, когда σ — это отношение порядка.)

Определение 1.2 Пусть X — упорядоченное векторное пространство и σ соответствующий предпорядок. Тогда σ(0) — конус. При этом

σ(x) = x+σ(0) для всякого x ∈ X

Доказательство

Множество σ(0) — конус . Помимо того, из тождества (x, y)=(x, x) + (0, y−x) выводим (x, y) ∈ σ ⇔ y−x ∈ σ(0).

Определение 1.3 Пусть K — конус в векторном пространстве X. Положим

σ:= {(x, y) ∈ : y −x ∈ K}.

Тогда σ — предпорядок, согласованный с векторной структурой, причём K совпадает с конусом положительных элементов σ(0). Более того, σ является порядком в том и только в том случае, если

K ∩(−K)=0.

Доказательство

Ясно, что 0 ∈ K ⇒ ⊂ σ и K + K ⊂ K ⇒ σ ◦ σ ⊂ σ.

Имеем также представление = {(x, y) ∈ : x − y ∈ K}.Значит, σ ∩ ⊂ ⇔ K ∩(−K) = 0. Осталось проверить, что σ— конус. С этой целью возьмём (x1, y1), (x2, y2) ∈ σ и α1, α2 ∈ R+. Тогда α1y1 + α2y2 − (α1x1 + α2x2) = α1(y1 − x1) + α2(y2 − x2) ∈α1K +α2K ⊂ K.

1.4 Определение. Заданный конус K называют упорядочивающим или острым, если K ∩(−K) = 0.

Замечание. На основании 1.2 и 1.3 задание в векторном пространстве структуры предупорядоченного векторного пространства равносильно выделению в нём конуса положительных элементов. Структуру упорядоченного векторного пространства создают выделением острого конуса. В этой связи о (пред)упорядоченном векторном пространстве X часто говорят как о паре (X, X+), где X+ — конус положительных элементов.