
- •1. Предварительные замечания
- •2. Полный факторный эксперимент
- •2.1. Нормирование масштаба факторов
- •2.2. Составление матрицы планирования полного факторного эксперимента
- •2.3. Порядок проведения пфэ
- •2.3.1. Порядок постановки опытов
- •2.3.2. Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)
- •2.3.3. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения Алгебраический способ
- •2.3.4. Проверка значимости коэффициентов регрессии
- •2.3.5. Проверка адекватности полученной математической модели
- •2.3.6. Переход к физическим переменным
- •2.4. Пример расчета полного факторного эксперимента
- •2.5. Порядок выполнения работы
- •2.6. Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •3. Дробный факторный эксперимент
- •3.1. Составление матрицы планирования дфэ
- •3.2. Определение смешанности оценок коэффициентов
- •3.3. Порядок проведения дфэ
- •3.4. Пример расчета дфэ
- •3.5. Порядок выполнения работы
- •3.6. Содержание отчета
- •Контрольные вопросы
- •Проверка статистических гипотез
- •Число степеней свободы
- •Работа с матрицами в Mathcade
- •Библиографический Список
- •Полный и дробный факторные планы эксперимента
- •432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.
2.3. Порядок проведения пфэ
2.3.1. Порядок постановки опытов
Для
оценки дисперсии наблюдений в каждой
-й
точке факторного пространства проводят
опытов. В результате получают значения
исследуемого параметра, для которых
находят средние значения
.
При этом опыты в одной точке факторного пространства проводят не подряд, а обходят все точки пространства в первой, во второй, ... в -й серии опытов. Для уменьшения влияния внешней среды и неконтролируемых факторов внутри каждой серии точки факторного пространства обходят случайным образом – рандомизируют последовательность опытов. Рандомизацию опытов можно провести с помощью генератора случайных чисел. При формировании задания для выполнения лабораторной работы рандомизация производится ЭВМ автоматически.
2.3.2. Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)
Опыт
считается статистически воспроизводимым,
если дисперсия
параметра
однородна (одинакова) в каждой точке
факторного пространства. Оценка дисперсии
определяется для каждой
-й
точки факторного пространства по
соотношению
.
Гипотезу об однородности дисперсий проверяют с помощью критерия Кохрена. Расчетное значение этого критерия вычисляют по формуле
, (2.3)
а
его критическое значение
находят из таблицы распределения Кохрена
по числу степеней свободы числителя
и знаменателя
и уровню значимости
(прил. 4). Если
гипотеза об однородности принимается,
в противном случае отвергается и тогда
эксперимент необходимо повторить,
изменив условия его проведения (набор
факторов, интервал их варьирования,
точность измерительных приборов и пр.).
Например, если при варьировании какого-то
фактора изменение исследуемого параметра
сравнимо с погрешностью эксперимента,
то интервал варьирования необходимо
увеличить примерно на порядок.
2.3.3. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения Алгебраический способ
Благодаря предварительной нормировке масштаба факторов, расчет оценок коэффициентов регрессии в ПФЭ сводится к простой арифметической процедуре
.
Матричный способ
Составляем матрицу
.
.Вычисляем
информационную матрицу
,
которая для ПФЭ имеет вид
,
где
– единичная диагональная матрица
размером
,
и дисперсионную
матрицу
.
Оценки коэффициентов находим по формуле
,
где
–
вектор средних значений.
2.3.4. Проверка значимости коэффициентов регрессии
Как
уже отмечалось выше, гипотеза о
статистической значимости (отличии от
нуля) коэффициентов регрессии проверяется
критерием Стьюдента. Расчетное значение
этого критерия определяют как частное
от деления модуля оценки коэффициента
на оценку его среднеквадратического
отклонения
. (2.4)
В
ПФЭ благодаря одинаковой удаленности
всех экспериментальных точек факторного
пространства от центра эксперимента,
оценки всех коэффициентов уравнения
регрессии независимо от их величины
вычисляются с одинаковой погрешностью
где
(2.5)
является оценкой дисперсии единичного наблюдения.
Оценку
дисперсии
коэффициентов
можно найти и с помощью дисперсионной
матрицы
,
где
– элементы главной диагонали дисперсионной
матрицы
,
которые при ПФЭ все одинаковы и равны
.
Критическое
значение
критерия находят из таблицы распределения
Стьюдента по числу степеней свободы
и уровню значимости
(прил. 5). Если
,
гипотеза о значимости коэффициента
принимается, в противном случае
коэффициент считается незначимым и
приравнивается к нулю.
Необходимо помнить, что незначимость коэффициента может быть обусловлена неверным выбором интервала варьирования фактора. Поэтому иногда бывает полезным изменить интервал варьирования и провести новый эксперимент.