Вопрос 6. Интерференция волн в упругой среде.

В среде могут распространяться одновременно колебания, исходящие от разных центров колебаний.

Если две различные системы волн, исходящих из разных источников, перекрываются в некоторой области, а затем снова расходятся, то дальше каждая из них распространяется так, как если бы она не встречала на своем пути другую. Этот принцип независимости распространения волн известен под названием принципа суперпозиции; он является весьма характерным для распространения волновых процессов.

В области перекрытия волн колебания налагаются друг на друга, происходит сложение (интерференция) волн, в результате чего колебания в одних местах получаются более сильные, а в других — более слабые. В каждой точке среды результирующее колебание будет суммой всех колебаний, дошедших до данной точки.

Особенный интерес представляет тот случай, когда источники колебаний колеблются с одинаковой частотой, имеют одинаковые направления колебаний и одинаковые фазы или постоянную разность фаз. Такие источники называются когерентными. В этом случае результирующее колебание в каждой точке среды имеет постоянную во времени амплитуду, зависящую от расстояний точки среды от источников колебаний. Такого рода сложение колебаний называется интерференцией от когерентных источников.

К огерентные источники колебаний можно, например, осуществить следующим образом: возьмем точечный источник S (см рис.), от которого распространяется сфериче­ская волна. На пути волны поставлена преграда ВВ₁ с двумя точечными от­верстиями s₁ и s₂, расположенными сим­метрично по отношению к источнику S. Отверстия s₁ и s₂ становятся, согласно принципу Гюйгенса, самостоятельными источниками колебаний, притом колеблющимися с одинаковой амплитудой и в одинаковых фазах, так как их расстояния от источника S одинаковы. Справа от преграды ВВ₁ будут распространяться две сферические волны, и в каждой точке среды колебание возникнет в результате сложения этих двух волн. Рассмотрим результат сло­жения в некоторой точке А, которая отстоит от источников s₁ и s₂ соответ­ственно на расстоянии r₁ и r₂. Колебания доходят до точки A с некоторой разностью фаз, которая зависит от разности расстояний r₁ и r₂.

Колебания источников s₁ и s₂ имеющие одинаковые фазы, можно представить в виде:

Тогда колебания, дошедшие до точки А соответственно от источников s₁ и s₂, выразятся:

где —частота колебаний. Если , то приближенно можно считать .

Разность фаз слагаемых колебаний в точке А будет

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний, причем, если разность фаз равна нулю или кратна 2π, то амплитуда имеет максимальное значение, равное сумме амплитуд слагаемых колебаний. Если разность фаз равна нечетному числу π, то амплитуда имеет минимальное значение, равное разности слагаемых амплитуд. Следовательно, в точке А получится максимум или минимум колебаний в зависимости от того, с какой разностью фаз Δα подходят к точке А оба колебания. Условие максимума амплитуды в точке А, по сказанному, имеет вид:

где k = 0, 1, 2, 3,..., откуда максимум колебаний имеет место при , т. е. максимум амплитуды получается в точках, для которых разность хода лучей равна нулю или целому числу длин волн.

Условие минимума амплитуды в точке А сводится к требованию:

где опять k = 0, 1, 2, 3,..., откуда разность хода лучей должна быть равна

Условие минимума амплитуды в точке А сводится к требованию:

т. е. минимум амплитуды получается в точках, для которых разность хода лучей равна нечетному числу полуволн.

При разностях фаз, имеющих промежу­точные значения между ±2kp и ±(2k+ + 1)p, где k — целое число, имеет место некоторый средний эффект усиления или ослабления колебаний.

Таким образом, в результате наложения двух волн в среде возникают колебания, амлитуда которых различна в разных точках среды, при этом в каждой точке среды получается или максимум амплитуды, или минимум амплитуды, или ее промежуточное значение — в зависимости от значения раз­ности расстояний точки до когерентных источников.

На рис. представлены две системы интерферирующих волн; гребни волн изображены сплошными линиями, впадины — пунктирными. В местах пересечения двух гребней или двух впадин расположены максимумы колебаний, в местах пересечения гребня и впадины расположены минимумы. Образование такого рода интерференцион­ных максимумов и минимумов можно легко наблюдать при распро­странении двух систем волн на поверхности воды.