Вопрос 40. Законы излучения абсолютно черного тела (Стефана-Больцмана, Вина). Формула Планка. Использование термографии в диагностике.

Излучение черного тела имеет сплошной спектр. Графики спектров излучения для разных температур приведены на рис. Из этих экспериментальных кривых можно сделать ряд выводов.

С уществует максимум спектральной плотности энергетической светимости, который с повышением температуры смещается в сторону коротких волн.

Энергетическую светимость черного тела R_e⁰ можно найти как площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс, или

Из рис. видно, что энергетическая светимость увеличивается по мере нагревания черного тела.

Долгое время не могли получить теоретически зависимость спектральной плотности энергетической светимости черного тела от длины волны и температуры, которая отвечала бы эксперименту. В 1900 г. это было сделано М. Планком.

В классической физике испускание и поглощение излучения телом рассматривались как непрерывный волновой процесс. Планк пришел к выводу, что именно эти основные положения не позволяют получить правильную зависимость. Он высказал гипотезу, из которой следовало, что черное тело излучает и поглощает энергию не непрерывно, а определенными дискретными порциями — квантами. Представляя излучающее тело как совокупность осцилляторов, энергия которых может изменяться лишь на величину, кратную кванту Планк получил формулы

(h = 6,626176 • 10^-34 Дж • с — посто­янная Планка, с — скорость света в ва­кууме, k — постоянная Больцмана), которые прекрасно описывают экспериментальные данные, в частности кривые, изображенные на рис.

которые прекрасно описывают экспериментальные данные, в частности кривые, изображенные на рис.

Спектр излучения серого тела может быть выражен зависимостью

где α — коэффициент поглощения серого тела.

Из формулы Планка можно получить расчетным путем законы, которые были установлены экспериментально еще до основополагающей работы Планка. Рассчитаем энергетическую светимость черного тела

Произведя замену переменных запишем

Без вывода укажем, что . Множитель при T⁴, состоящий из постоянных величин, равен

Окончательно получаем

Это закон Стефана—Больцмана: энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры. Величину σ называют постоянной Стефана—Больцмана.

Для серых тел имеем

Закон Стефана—Больцмана можно качественно проиллюстрировать на разных телах (печь, электроплита, металлическая болванка и т. д.): по мере их нагревания ощущается все более интенсивное излучение.

Функция ε_, по формуле Планка имеет экстремум при условии

Отсюда получаем закон смещения Вина (см. рис.): где _т — длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости черного тела, b = 0,28978 • 10^-2 м·К — постоянная Вина. Этот закон выполня­ется и для серых тел.

Проявление закона Вина известно из обыденных наблюдений. При комнатной температуре тепловое излучение тел в основном приходится на инфракрасную область и человеческим глазом не воспри­нимается. Если температура повышается, то тела начинают светиться темно-красным светом, а при очень высокой температуре — белым с голубоватым оттенком, возрастает ощущение нагретости тела.

Законы Стефана—Больцмана и Вина позволяют, регистрируя излучение тел, определять их температуры (оптическая пирометрия).

Тело человека имеет определенную температуру благодаря терморегуляции, существенной частью которой является теплообмен организма с окружающей средой. Рассмотрим некоторые особенности такого теплообмена, предполагая, что температура окружающей среды ниже температуры тела человека.

Теплообмен происходит посредством теплопроводности, кон­векции, испарения и излучения (поглощения).

Трудно или даже невозможно точно указать распределение отдаваемого количества теплоты между перечисленными процессами, так как оно зависит от многих факторов: состояния организма (температура, эмоциональное состояние, подвижность и т. д.), состояния окружающей среды (температура, влажность, движение воздуха и т. п.), одежды (материал, форма, цвет, толщина).

Так как теплопроводность воздуха мала, то этот вид теплоотдачи очень незначителен. Более существенна конвекция, она может быть не только обычной, естественной, но и вынужденной, при которой воздух обдувает нагретое тело. Большую роль для умень­шения конвекции играет одежда. В условиях умеренного климата 15—20% теплоотдачи человека осуществляется конвекцией.

Испарение происходит с поверхности кожи и легких, при этом имеет место около 30% теплопотерь.

Наибольшая доля теплопотерь (около 50%) приходится на излучение во внешнюю среду от открытых частей тела и одежды. Основная часть этого излучения относится к инфракрасному диа­пазону с длиной волны от 4 до 50 мкм.

Излучающие тела (кожа человека, ткань одежды) примем за серые. Это позволит использовать формулу Стефана-Болцмана.

Назовем произведение коэффициента поглощения на постоянную Стефана—Больцмана приведенным коэффициентом излучения:  = ασ. Тогда закон Стефана-Больцмана перепишется так:

Вследствие сильной температурной зависимости энергетиче­ской светимости (четвертая степень термодинамической темпера­туры) даже небольшое повышение температуры поверхности мо­жет вызвать такое изменение излучаемой мощности, которое на­дежно зафиксируется приборами. Поясним это количественно.

Продифференцируем данное уравнение: dR_e = 4 T³dT. Разделив выражения одно на другое, получим dR_e/R_е = 4dT/T. Это означает, что относительное изменение энергетической светимости больше относительного изменения температуры излучающей поверхности в четыре раза. Так, если температура поверхности тела человека изменится на 3 °С, т. е. приблизительно на 1%, то энергетическая светимость изменится на 4% .

У здоровых людей распределение температуры по различным точкам поверхности тела достаточно характерно. Однако воспалительные процессы, опухоли могут изменить местную температуру. Температура вен зависит от состояния кровообращения, а также от охлаждения или нагревания конечностей. Таким образом, регистрация излучения разных участков поверхности тела человека и определение их температуры являются диагностическим методом. Такой метод, называемый термографией, находит все более широкое применение в клинической практике. Термография абсолютно безвредна и в перспективе может стать методом массового профилактического обследования населения.

Определение различия температуры поверхности тела при термографии в основном осуществляется двумя методами. В одном случае используются жидкокристаллические индикаторы, опти­ческие свойства которых очень чувствительны к небольшим изме­нениям температуры. Помещая эти индикаторы на тело больного, можно визуально по изменению их цвета определить местное различие температуры. Другой метод, более распространенный, — технический, он основан на использовании тепловизоров. Тепловизор — это техническая система, подобная телевизору, которая способна воспринимать инфракрасное излучение, идущее от тела, преобразовывать это излучение в оптический диапазон и воспро­изводить изображение тела на экране. Части тела, имеющие разные температуры, изображаются на экране разным цветом.