Вопрос 3. Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила , где F₀ – амплитуда, ω – круговая частота колебаний вынуждающей силы.

В этом случае колебание является суммой двух слагаемых. Одно из них, соответствующее затухающим колебаниям, играет роль только при установлении колебаний. Со временем им можно пренебречь. Другое слагаемое соответствует установившимся вынужденным колебаниям, в которых смещение материальной точки массой m описывается уравнением:

,

где амплитуда колебаний , а начальная фаза , ω₀ – собственная частота колебаний системы.

К ак видно и этого выражения, установившееся вынужденное колебание, происходящее под воздействием гармонически изменяющейся вынуждающей силы, тоже является гармоническим. Частота вынужденного колебания равна частоте вынуждающей силы. Вынужденные колебания, график которых представлен на рис., сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденного колебания прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного. Если ω₀ и β для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Само явление – достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω₀ и β – называют резонансом.

Резонансную частоту можно найти из условия минимума знаменателя амплитуды: . Подставив ω_рез в выражение для амплитуды вынужденных колебаний, находим амплитуду при резонансе:

В идно, что при отсутствии сопротивления (β=0) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе неограниченно возрастает. При этом резонанс в системе без затухания наступает при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рисунке.

Вопрос 4. Сложное колебание и его гармонический спектр.

Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти результирующее движение, следует сложить колебания, что приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания.

Ж. Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции.

Такое разложение периодической функции на гармонические составляющие и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т. п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Существуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами — анализаторами.

Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.

Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представление выполняется графически. В качестве примера на рис. а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляющих его гармонических колебаний (кривые 1, 2 и 3); на рис. б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру.

Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс, он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.