Вопрос 15. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса.

Течение называется ламинарным (слоистым) , если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними. Ламинарное течение наблюдается при небольших скоростях движения жидкости. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние от поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы (рис а).

Н а рисунке представлено схематичное изображение ламинарного (a) и турбулентного (b) течения в плоском слое

Увеличение скорости течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрения, и движение становится вихревым, или турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте непрерывно и хаотически изменяется, движение является нестационарным. Это сопровождается интенсивным перемешиванием жидкости и вихреобразованием.

Характер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса:

где ρ_ж — плотность жидкости, D — диаметр трубы, υ — средняя по сечению трубы скорость течения.

При малых значениях числа Рейнольдса (Re1000) наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000Re2000. Если же число Рейнольдса больше некоторого критического (Re >> Re_кр ), то движение жидкости турбулентное. Например, для гладких цилиндрических труб Re_кр≈ 2300.

Из формулы видно, что характер течения жидкости или газа существенно зависит от размеров трубы. В широких трубах даже при сравнительно небольших скоростях может возникнуть турбулентное движение. Так, например, в трубке диаметром 2 мм течение воды становится турбулентным при скорости более 127 см/с, а в трубе диаметром 2 см — уже при скорости примерно 12 см/с (температура 16 °С). Течение крови по такой трубе стало бы турбулентным при скорости 50 см/с, но практически в кровеносных сосудах диаметром 2 см турбулентное течение возникает даже при меньшей скорости. Однако течение крови в артериях в норме является ламинарным, небольшая турбулентность возникает вблизи клапанов сердца. Это служит критерием для выявления патологий.

Тема 5. Физические основы гемодинамики

Вопрос 16. Физическая модель сердечно-сосудистой системы. Пульсовая волна.

Гемодинамикой называют область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов.

Р ассмотрим гидродинамическую модель кровеносной системы, предложенную О. Франком. Несмотря на достаточную простоту, она позволяет установить связь между ударным объемом крови (объем крови, выбрасываемый желудочком сердца за одну систолу), гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения Х₀ и изменением давления в артериях. Артериальная часть системы кровообращения моделируется упругим (эластичным) резервуаром (на рис. обозначено УР).

**Так как кровь находится в упругом резервуаре, то ее объем V в любой момент времени зависит от давления р по следующему соотношению:

где k — эластичность, упругость резервуара (коэффициент пропорциональности между давлением и объемом), V₀ — объем резервуара при отсутствии давления (р = 0). Продифференцировав данное выражение, получим:

**

В упругий резервуар (артерии) поступает кровь из сердца, объемная скорость кровотока равна Q. От упругого резервуара кровь оттекает с объемной скоростью кровотока Q₀ в периферическую систему (артериолы, капилляры). Предполагаем, что гидравлическое сопротивление периферической системы постоянно. Это моделируется «жесткой» трубкой на выходе упругого резервуара (см. рис). Можно составить достаточно очевидное уравнение:

показывающее, что объемная скорость кровотока из сердца равна сумме скорости возрастания объема упругого резервуара и скорос­ти оттока крови из упругого резервуара.

**На основании уравнения Пуазейля, с учетом формулы для гидравлического сопротивления, можно записать для периферической части системы

где р — давление в упругом резервуаре, р_в — венозное давление, оно может быть принято равным нулю, тогда имеем

Окончательно получим: .

Проинтегрируем данное выражение. Пределы интегрирования по времени соответствуют периоду пульса (периоду сокращения сердца) от 0 до Т . Этим временным пределам соответствуют одинаковые давления — минимальное диастолическое давление р. Учитывая, что интеграл с равными пределами равен нулю, **получаем

Экспериментальная кривая, показывающая временную зависимость давления в сонной артерии, приведена на рис. (сплошная линия). На рисунке показан период пульса, длительности Т_с систолы и T_д диастолы, р_с — максимальное (систолическое) давление.

Во время систолы (сокращение сердца) происходит расширение упругого резервуара, после систолы, во время диастолы — отток крови к периферии, Q = 0. Для этого периода имеем или

Проинтегрировав, получаем зависимость давления в резервуаре после систолы от времени:

Соответствующая кривая изображена тонкой линией на рис. Тогда зависимость объемной скорости оттока крови от времени: , где — объемная скорость кровотока из упругого резервуара в конце систолы (начале диастолы).

Хотя данная модель весьма грубо описывает реальное явление, она чрезвычайно проста и верно отражает процесс к концу диасто­лы. Вместе с тем изменения давления в начале диастолы с по­мощью этой модели не описываются.

В более точной модели сосудистого русла использовалось боль­шее количество эластичных резервуаров для учета того факта, что сосудистое русло является системой, распределенной в простран­стве. Для учета инерционных свойств крови при построении моде­ли предполагалось, что эластичные резервуары, моделирующие восходящую и нисходящую ветви аорты, обладают различной уп­ругостью. На рис приведено изображение модели Ростона, со­стоящей из двух резервуаров с различными эластичностями (упругостями) и с неупругими звеньями разного гидравлического сопротивления между резервуарами.

Двухкамерная модель лучше описывает процессы, происходящие в сосудистом русле, но и она не объясняет колебания давления в начале диастолы. Модели, содержащие несколько сотен элементов, называют мо­делями с распределенными параметрами.

При сокращении сердечной мышцы (систола) кровь выбрасывается из сердца в аорту и отходящие от нее артерии. Если бы стенки этих сосудов были жесткими, то давление, возникающее в крови на выходе из сердца, со скоростью звука передалось бы к периферии. Упругость стенок сосудов приводит к тому, что во время систолы кровь, выталкиваемая сердцем, растягивает аорту, артерии и артериолы, т. е. крупные сосуды воспринимают за время систолы больше крови, чем ее оттекает к периферии. Систолическое давление человека в норме равно приблизительно 16 кПа. Во время расслабления сердца (диастола) растянутые кровеносные сосуды спадают и потенциальная энергия, сообщенная им сердцем через кровь, переходит в кинетическую энергию тока крови, при этом поддерживается диастолическое давление, приблизительно равное 11 кПа.

Р аспространяющуюся по аорте и артериям волну повышенного давления, вызванную выбросом крови из левого желудочка в период систолы, называют пульсовой волной.

Пульсовая волна распространяется со скоростью 5—10 м/с и даже более. Следовательно, за время систолы (около 0,3 с) она должна распространиться на расстояние 1,5—3 м, что больше расстояния от сердца к конечностям. Это означает, что начало пульсовой волны достигнет конечностей раньше, чем начнется спад давления в аорте. Профиль части артерии схематически показан на рис.: а — после прохождения пульсовой волны, б — в артерии начало пульсовой волны, в — в артерии пульсовая волна, г — начинается спад повышенного дав­ления. Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование скорости кровото­ка в крупных артериях, однако скорость крови (максимальное значение 0,3—0,5 м/с) существенно меньше скорости распространения пульсовой волны.

Скорость пульсовой волны в крупных сосудах следующим об­разом зависит от их параметров (формула Моенса—Кортевега):

где Е — модуль упругости, р — плотность вещества сосуда, h — толщина стенки сосуда, d — диаметр сосуда.

У человека с возрастом модуль упругости сосудов возрастает, поэтому, становится больше и скорость пульсовой волны.