Барометрлік формула. Больцман таралуы

Идеал газдың молекула-кинетикалық теориясының негізгі теңдеуін қорытып шығарғанда газ молекулаларына сырттан ешқандай күштер әсер етпейді деп алынды, сондықтан молекулалар көлемде біркелкі таралады. Бірақ та кез келген газ молекулаларына Жердің тартылысының потенциалық өрісі әсер етеді. Жердің тартылысы бір жағынан, екінші жағынан жылулық қозғалыс газды стационар күйге алып келеді, ол кезде биіктік артқан сайын газдың қысымы кеми береді.

Қысымның биіктікке байланысты өзгеру заңын қорытып шығарайық. Тартылыс өрісі біртекті, температура тұрақты және барлық молекулалар массалары бірдей. Һ биіктіктегі атмосвералық қысым р, ал h+dh биіктікте қысым p+dp ( dh>0 dp<0 болады). р және p+dp қысымдардың айырмасы газдың салмағына тең (табанының ауданы 1м² биіктігі dh цилиндр ішіндегі).

Мұндағы  — һ биіктіктегі газдың тығыздығы (dh өте аз, ендеше биіктіктің осы өзгерісінде оны тұрақты деп алуға болады. Сондықтан

(15)

pV=(m/M) RT қолдансақ (т — газдың массасы, М — молярлық масса ), табамыз

Осыны (15) қойсақ, онда

Биіктік h₁ ден h₂ өзгергенде, қысым р₁ ден р₂ өзгереді, яғни.

немесе

(16)

Бұл барометрлік формула. Осы теңдеу арқылы биіктікке байланысты атмосфералық қысымды немесе атмосфералық қысымға байланысты биіктікті анықтауға мүмкіндік береді. Биіктік теңіз деңгейінен алынатындықтан, оны мына түрде жазуға болады:

(17)

р — һ биіктіктегі қысым.

Жер бетінен биіктікті анықтайтын құрал высотоме­р (немесе альтиметр деп аталады. Теңдеу бойынша газ ауыр болған сайын, оның қысымы биіктікке байланысты кеми береді. p=nkT ескерсек, онда

Мұндағы n – һ биіктіктегі молекулалар концентрациясы, ал n₀ – h=0 дегі. M=m₀N_A , R=kN_A, ендеше

(18)

мұндағы m₀gh=П —молекулалардың тартылыс өрісіндегі потенциалық энергиясы).

(19)

(19) Больцман таралуы сыртқы потенциалық өрістегі. Тұрақты температурада газдың тығыздығы көп болады, қай жерде молекулаларының потенциалық энергиясы аз болса. Егер бөлшектер массалары бірдей және олар хаосты жылулық қозғалыста болатын болса, онда Больцман таралуы кез келген сыртқы потенциалық өріс үшін орынды.

Молекулалық-кинетикалық теорияның негізгі теңдеуі

Заттардың қасиеттерін олардың атомдардан, молекулалардан тұратындығымен және молекулалардың қозғалысын олардың өзара әсерлесуімен түсіндіретін ілімді молекулалық-кинетикалық теория дейді.

Ол ілім бойынша газдардың молекулалары ретсіз қозғалыста болады. Газдардың тығыздығы сұйықтардың тығыздығынан мыңдаған есе аз, яғни газ молекулалары бір-бірімен соқтыққанға дейін біраз жер жүреді және соқтығысуы абсолютті серпімді болады.

Газдың қысымы мен оның молекулаларының қозғалыс жылдамдығының арасындағы байланысты қарастырайық.

Ол үшін қыры dl болатын текшені қарастырайық. Оның ішінде n молекула бар деп есептелсін .

Газ молекулаларының бейберекет қозғалысы

Газ молекулалары ретсіз, бейберекет қозғалатындықтан, барлық молекулалардың -і текшенің бергі және арғы беттері арасында, ал -і оң және сол беттері арасында, қалған -і жоғарғы және төменгі беттері арасында қозғалсын дейік.

Газдың ыдыс қабырғасына түсіретін орташа қысымын анықтау үшін белгілі бір уақыт ішіндегі барлық молекулалардың қабырғаны соққылауының импульстерін санау керек. Молекула қабырғаға перпендикуляр бағытта келіп соғылсын және соққы абсолют серпімді болсын. Сонда молекуланың қабырғаны соққандағы жылдамдағы болса, қабырғадан кері серпілгендегі жылдамдығы - болады. Ендеше молекуланың импульсінің өзгерісі болады. Молекула текшенің бірінші қабырғасына қайта соғылған кезде жол жүреді. Бір секундта молекула қабырғаны рет соққылайды. Сонда бір секунд уақыттағы импульстер қосындысы:

(2.1)

Молекулалар әртүрлі жылдамдықтармен қозғалатындықтан, барлық молекулалардың текшенің бір жақ қабырғасын соққылау күші:

(.2.2) Бұл теңдіктің алымын да, бөлімін де n' көбейтіп жіберсе,онда

мұндағы

орташа квадраттық жылдамдықтың квадраты, ал - ге тең.

Ендеше

болады. Сол кезде молекулалардың қабырғаға түсіретін қысымы:

(2.3)

мұндағы - текшенің көлемі, -бір өлшем көлемдегі молекулалардың саны. Сонымен газ қысымы төмендегі теңдікпен анықталады:

(.2.4)

бұл өрнек молекулалық-кинетикалық теорияның негізгі теңдеуі делінеді. (Бұл теңдеуді 1738 жылы Бернулли қорытып шығарды).

– молекулалардың орташа кинетикалық энергиясы, сондықтан (2.4) теңдікті мына түрде жазуға болады:

(2.5)

(2.5) теңдеудің екі жағын V₀ молярлық көлемге көбейткенде

деп жазуға болады.

Газдың 1 моліндегі молекулалар саны - Авогадро саны делінеді. Ендеше

(2.6) Менделеев-Клапейперон теңдеуін ескеріп:

бұдан

(2.7)

мұндағы -Больцман тұрақтысы делінеді.

(.2.8)

(.2.6) формулаға (2.8) формуланы қойғанда:

(2.9)

(2.8) формула бойынша

Бұл формуладан орташа квадраттық жылдамдықты анықтауға болады:

(2.10)

(2.11)

Молекулалардың орташа квадраттық жылдамдығы абсолюттік температураға пропорционал болады.

Молекулалардың орташа квадраттық жылдамдығының формуласы белгілі

бірақ, әр жеке молекуланың жылдамдықтары әртүрлі. Сондықтан белгілі жылдамдықпен қозғалатын молекулалар санын көрсете алмаймыз.

Максвелше молекулалардың жылдамдықтары бойынша таралып бөліну заңы

Максвелл ықтималдық теориясына сүйене отырып жылдамдықтары ( , ) интервалында жататын молекулалар санының төмендегідей формуламен анықталатындығын көрсетті:

(3.1)

(3.2) – қатынасы үлестіру функциясы делінеді.

Ордината өсіне , ал абцисса өсіне жылдамдық -нің мәндерін салсақ Максвелл қисығы шығады (3.1-сурет). Максвелл қисығының максимумына – ықтималдық жылдамдық сәйкес келеді. Жылдамдықтары ( , + ) интервалында жататын молекулалар саны (3.1) -суреттегі штрихталған фигураның ауданы арқылы анықталады.

Ықтималдық жылдамдықты анықтау үшін (3.2) теңдеуден

д еп ұйғарған жағдайда

3.1 – сурет. Максвелл таралуларының функциясы

бұдан

(3.3)

Максвелл қисығы ассиметриялы: қисықтың сол жағы тіктеу, ал оң жағы жатағандау (2.3.2-сурет). Яғни қисықтың штрихталған сол жақ бөлігінің ауданы штрихталмаған оң жақ бөлігінің ауданынан кіші болады.

3.2 – сурет. Жылдамдықтың әртүрлі интервалдарындағы молекулар сандарының қатынасы

Бұл аудандар молекулалардың санын көрсетеді. Ендеше жылдамдықтары ықтималдық жылдамдығынан кіші болатын молекулалар саны жылдамдықтары ықтималдық жылдамдығынан үлкен болатын молекулалар санынан аз болады.

Енді орташа арифметикалық жылдамдықты анықтайық.

молекулалар тобының жылдамдығы , ал молекулалар тобының жылдамдығы , молекулалар тобының жылдамдығы болсын.