7. Показатели вариации и анализ частотных распределений

7.1. При изучении покупательского спроса в обувных отделах торгового комплек- са «Москва» получены следующие данные о распределении продаж мужской летней обуви по размерам:

Размер	38	39	40	41	42	43	44	Итого
Число проданных пар	4	4	8	13	19	8	4	60

Проведите частотный анализ распределения и сделайте выводы. Для этого:

а) замените групповые частоты частостями;

б) для каждой группы определите кумулятивные частости;

в) постройте кумуляту распределения.

7.2. Действующие кредитные организации в РФ на начало 2001 года по величине за-

_{регистрированного уставного капитала распределились так:}

Группы организаций по уставному капи- талу, млн руб.	До 3	3-10	10-30	30-60	60-150	150-300	300 и выше	Итого
Число организа- ций	174	282	313	254	127	68	93	1311

Проведите частотный анализ распределения, используя плотности частостей и куму-

лятивные частости. Сделайте выводы.

7.3. По данным Госкомстата РФ на начало 2000/01 учебного года число студентов различных форм обучения государственных вузов распределялось так (тыс. чел.): дневная

- 2442, вечерняя - 259, заочная - 1519, экстернат - 52.

Проведите частотный анализ распределения и сделайте выводы. Для этого:

а) изложите исходные данные в таблице;

б) замените групповые частоты частостями;

в) для каждой группы определите кумулятивные частости.

7.4. По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса студентов полу-

_{чено следующее распределение оценок по баллам:}

Балл оценки зна- ний студентов	2	3	4	5	Итого
Число оценок, полученных студентами	6	75	120	99	300

Определите:

а) средний балл оценки знаний студентов;

б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла;

в) сделайте выводы о характере данного распределения.

7.5. По данным задачи 7.1 определите модальный размер мужской обуви, объясните его содержание.

193

_{ПРАКТИКУМ}

7.6. Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота характери-

_{зуется следующими данными:}

Товарооборот, млн. руб.	До 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25 и более	Итого
Число фирм	20	26	20	14	10	10	100

Определите:

а) средний размер месячного товарооборота на одну фирму;

б) модальное и медианное значение месячного товарооборота;

в) сделайте выводы о характере данного распределения.

7.7. По данным Госкомстата РФ численность занятых в экономике по возрасту в

_{2000 г. распределилась так:}

Возраст, лет	До 20	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59	60-72	Итого
% к общей численности занятых в экономике	1,5	9,2	11,5	11,6	15,3	17,0	15,4	10,7	3,6	4,2	100,0

Определите медиану, первый и третий квартили, первый и десятый децили. Объяс-

ните их содержание.

7.8. Распределение безработных по длительности перерыва в работе N-гo региона,

_{характеризуется следующими данными:}

Длительность перерыва в работе, месяцев	В % к общей численности мужчин, женщин
	мужчин	женщин
До 3 3-6 6-9 9-12 12 и более	27,4 38,3 14,6 10,7 9,0	20,4 47,1 13,5 10,4 8,6
Итого	100,0	100,0

Определите медианные и квартальные значения продолжительности перерыва в ра-

боте, объясните их содержание и проведите сравнительный анализ.

7.9. Распределение коммерческих банков по величине кредитных вложений характе-

_{ризуется следующими данными:}

Величина кредит- ных вложений, млн. руб.	до 200	200- 400	400- 600	600- 800	800- 1000	1000 и более	Итого
Число банков	5	10	8	7	4	2	36

_{Определите квартили и децили уровня кредитных вложений, объясните их содержание.}

194

_{ПРАКТИКУМ}

7.10. Распределение населения по величине среднедушевого денежного дохода в

_{России за 2000 г. характеризуется следующими данными:}

Среднедушевой до- ход, руб. в месяц	До 500	500- 750	750- 1000	1000- 1500	1500- 2000	2000- 3000	3000- 4000	Свыше 4000	Итого
Численность насе- ления, млн. чел.	4,5	10,5	14,3	30,1	24,7	30,7	14,9	15,9	145,6

Для оценки степени децильной дифференциации населения определите децили сред-

недушевого дохода. Объясните их содержание.

7.11. Распределение подростковой преступности по одной из областей РФ за 1-е по-

_{лугодие 2003 г.:}

Возраст пра- вонарушите- лей, лет	11	12	13	14	15	16	Итого
Количество правонару- шений	15	24	29	36	42	30	220

Определите показатели вариации:

а) размах;

б) среднее линейное отклонение;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициент вариации.

Оцените количественную однородность совокупности.

7.12. Распределение числа слов в телеграмме в двух почтовых отделениях характери-

_{зуется следующими данными:}

Количество слов в телеграмме	Почтовое отделение (число телеграмм)
	А	Б
13 14 15 16 17 18 20	20 22 37 26 20 15 10	17 24 46 22 20 12 9
Итого	150	150

Определите для каждого почтового отделения:

а) среднее число слов в одной телеграмме;

б) среднее линейное отклонение;

в) линейный коэффициент вариации;

г) сравните вариацию числа слов в телеграмме.

7.13. Распределение длины пробега автофургона торговой фирмы характеризуется следующими данными:

195

_{ПРАКТИКУМ}

Длина пробега за один рейс, км	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80	80 и выше	Итого
Число рейсов за 1 месяц	20	25	14	18	8	5	90

Определите:

а) среднюю длину пробега за один рейс; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации.

Оцените количественную однородность совокупности.

7.14. Распределение численности безработных по возрастным группам в N-м регионе за 2000 - 2003 гг. характеризуется следующими данными:

Возраст безработных, лет	В % к общей численности безработных
	2000	2003
До 20 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-72	7,9 18,3 13,3 12,0 14,7 13,0 10,5 5,4 3,1 1,8	8,6 17,7 12,4 12,0 13,0 13,8 10,7 6,7 2,6 2,5
Итого	100,0	100,0

Определите:

а) для каждого года средний возраст безработного;

б) среднее квадратическое отклонение;

в) коэффициент вариации.

Сравните вариацию возраста безработных за два года.

7.15. Основные фонды предприятий города производственной и непроизводственной сферы характеризуются следующими данными:

Число предприятий	Среднегодовая стоимость основных фондов пред- приятий в сфере, млн. руб.
	производственной	непроизводственной
2 3 5 6 7 23	2,9 7,1 10,7 6,9 5,1	0,9 1,2 2,2 3,2 4,2

Определите по каждому виду основных фондов: средний размер основных фондов на одно предприятие и среднее квадратическое отклонение. Сравните вариацию, сделайте выводы.

196

_{ПРАКТИКУМ}

7.16. Распределение фермерских хозяйств по посевной площади характеризуется сле-

_{дующими данными:}

Посевные площади, га	До 100	100-200	200-300	300-400	400-500	500 и более	Итого
Удельный вес хозяйств, % к итогу	17	20	28	25	7	3	100

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение посевных площадей,

применив для расчета средней арифметической и дисперсии способ моментов.

7.17. Распределение коммерческих банков по размеру активов характеризуется сле-

_{дующими данными:}

Размер активов, млн руб.	До 200	200-300	300-400	400-500	500-600	600 и более	Итого
Удельный вес банков, % к итогу	8	25	52	7	5	3	100

Определите общую дисперсию двумя способами:

а) обычным;

б) по способу моментов.

7.18. Данные о производительности труда трех цехов текстильной промышленности характеризуются следующими данными:

Цех	Средняя часовая производительность труда, м2	Среднее квадратическое отклонение в группе
1 2 3	29,2 18,22 28,36	2,4 2,27 3,47

Сравните вариацию производительности труда в названных цехах, сделайте выводы.

7.19. Товарооборот по предприятию общественного питания на одного работника за квартал характеризуется следующими данными:

Предприятие	Товарооборот в расчете на одного работника, млн. руб.	Дисперсия товарооборота в группе
Столовые Кафе, закусочные, Рестораны	13 20 26	3,29 36,00 9,00

Определите по каждому предприятию: коэффициент вариации и сравните вариацию товарооборота общественного питания в названных предприятиях. Сделайте выводы.

7.20. Средняя величина признака в совокупности равна 20, а средний квадрат индиви-

дуальных значений этого признака - 400. Определите коэффициент вариации.

7.21. Дисперсия признака равна 10, средний квадрат его индивидуальных значений -

_{140. Чему равна средняя?}

197

_{ПРАКТИКУМ}

7.22. Средняя величина в совокупности равна 16, среднее квадратическое отклонение

- 8. Определите средний квадрат индивидуальных значений этого признака.

7.23. Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 100, а средняя - 15. Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 10 и 25.

7.24. Средняя величина признака равна 14, а дисперсия - 60. Определите средний квадрат отклонений вариантов признака от 19.

7.25. Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины равен 300, а сама произвольная величина равна 70 единицам. Определите дисперсию при- знака, если известно, что средняя величина его варианта равна 80.

7.26. Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины равен 61. Средняя величина признака больше произвольной величины на 6 единиц и равна

10. Найдите коэффициент вариации.

_{7.27. Имеются следующие данные о балансовой прибыли предприятий за два квартала:}

Квартал	Число предприятий	Балансовая прибыль, млн. руб.
I II	3 4	18,4; 38,8; 72,6 14,1; 16,3; 48,8; 27,9

Определите:

а) среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую дисперсию балансовой прибыли предприятия;

б) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

7.28. Распределение семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей характеризуется следующими данными:

Количество детей в семье	Число семей сотрудников по подразделениям
	1-е	2-е	3-е
0 1 2 3	4 6 3 2	7 10 3 1	5 13 3 -

Определите:

а) внутригрупповые дисперсии;

б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию.

Проверьте правильность произведенных расчетов с помощью правила сложения дисперсий и рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение.

7.29. Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспортных поста-

_{вок, по ценам предприятия, характеризуется следующими данными:}

198

_{ПРАКТИКУМ}

Цех	Стоимость всей произведенной продукции, млн. руб.	В том числе стоимость экспортной продукции, млн. руб.
1 2 3	150 200 400	120 180 380
Итого	750	680

Определите:

а) внутрицеховые дисперсии доли;

б) среднюю из внутрицеховых дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию.

Проверьте правильность произведенных расчетов с помощью правила сложения дис-

персий доли.

7.30. Ниже приводятся данные по отдельным молочно-товарным фермам хозяйства об общем поголовье коров и числе дойных коров на 1 июля 2002 г.:

Ферма	Всего коров, голов	В том числе дойных
1 2 3	200 225 300	180 160 285
Итого	725	625

Определите:

а) дисперсию доли дойных коров в общем поголовье коров по отдельным молочно-

товарным фирмам;

б) среднюю из внутригрупповых дисперсий;

в) межгрупповую дисперсию;

г) общую дисперсию доли дойных коров по фермерскому хозяйству в целом.

Проверьте правильность произведенных расчетов с помощью правила сложения дисперсий.

7.31. Распределение строительных фирм по объему инвестиций характеризуется сле-

_{дующими данными:}

Объем инвестиций, млн. руб.	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	Итого
Число фирм	4	6	32	34	27	10	7	120

Определите характеристики распределения:

а) среднюю;

б) моду;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициент вариации и асимметрии.

_{Сделайте выводы о характере распределения строительных фирм.}

199

_{ПРАКТИКУМ}

_{7.32. Распределение семей города по числу детей характеризуется следующими данными:}

Число детей в семье	0	1	2	3	4	5	Итого
Число семей, % к итогу	10	26	29	17	13	5	100

Определите коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя центральные моменты первых четырех порядков. Сделайте выводы о характере распределения семей.

7.33. По данным задачи 7.6 определите характеристики распределения:

а) среднюю;

б) моду;

в) среднее квадратическое отклонение;

г) коэффициент вариации и асимметрии Пирсона. Сделайте выводы о характере рас-

пределения товарооборота.

7.34. По данным задачи 7.17 определите показатели асимметрии и эксцесса распре-

деления коммерческих банков по размеру актива. Сделайте выводы.

7.35. При исследовании трудовой активности сотрудников организации (отработано человеко-дней за год) получены средние величины и центральные моменты:

Показатели	Для мужчин	Для женщин
x µ2 Центральные моменты µ  µ4	240 1200 4800 3 483 000	180 2300 16 835 000

^{ 3} ₃₄₅₀₀

Используя показатели асимметрии и эксцесса, сравните характер распределения мужчин и женщин по трудовой активности. Сделайте выводы.

7.36. По данным выборочного исследования домашних хозяйств по числу совмест-

_{ного проживания их членов получены следующее данные:}

Показатели	Для числа членов домашних хозяйств
x µ2 Центральные моменты µ  µ4	2,789 1,6505 6,1715

^{ 3} _0,3811

Определите коэффициент асимметрии Пирсона и нормированные моменты 3-го и 4-

_{го порядка. Сделайте выводы.}

7.37. По данным задачи 7.14 определите критерий согласия Пирсона (χ²) и проверьте бли-

зость эмпирического и теоретического распределений численности безработных за 2000 г.

7.38. По данным задачи 7.14 проверьте близость эмпирического и теоретического распределений численности безработных за 2000 г. с помощью критериев согласия Рома- новского и Колмогорова.

200

_{ПРАКТИКУМ}