9.5. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение ос-

новной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики.

Под основной тенденцией развития ряда динамики понимают изменение, опреде- ляющее общее направление развития. Это – систематическая составляющая долговремен- ного действия. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике рассматриваемого показателя, в других случаях она может не просматриваться из-за ощу- тимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колеба- ния розничных цен могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого пока- зателя. Поэтому для выявления основной тенденции развития в статистике применяются 2 группы методов:

• сглаживание или механическое выравнивание отдельных уровней ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

• выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к ко- торым относятся уровни. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены путем суммирования уровней исходного ряда, либо мо- гут представлять средние уровни.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглажи- вание ряда динамики. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактиче- ских уровней ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены коле- баниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенно- го числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа

129

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчете средних уровней они как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий пе- риод, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда ди- намики нечетное.

Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики не- сколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимся в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех уровней, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвер- тым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецен- трированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Пример. Покажем расчет скользящей средней за 3 и 4 месяца по данным, пред-

_{ставленным в таблице 9.6.}

_{Динамика продажи магнитофонов в торговой сети за 2004 год}

Таблица 9.6.

Месяц	Продано магнитофо- нов, тыс.шт.	Трехуровне- вые скользя- щие суммы	у Трех- е скользящие средние	Четырех- уровневые скользящие суммы	Четырех- уровневые скользящие средние нецентриро- ванные	Четырех- уровневые скользящие средние цен- трированные
А	1	2	3	4	5	6
январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь	23 25 21 26 28 24 29 28 30 29 31 33	- - 69 72 75 78 81 81 87 87 90 93	- 23 24 25 26 27 27 29 29 30 31 -	- - - 95 100 99 107 109 111 116 118 123	- 23,8 25,0 24,8 26,8 27,3 27,8 29,0 29,5 30,8 -	- - 24,4 24,9 25,8 27,0 27,5 28,4 29,3 30,1 - -

_{ровневы}

130

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравни- вания для анализа основной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени – y = f(t).

При таком подходе изменение явления связывают лишь с течением времени, счита- ется, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построенная модель должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Выбранная функция позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней ряда динамики.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и дру- гие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

^{полином первой степени y} _t ^{= a} ₀ ^{+ a} ₁^t

2

полином второй степени y _t = a ₀ + a ₁t + a ₂ t

2

полином третьей степени y _t = a ₀ + a ₁t + a ₂ t

₂

3

+ a ₃ t

_n

(9.24.)

^{полином n-ой степени y} _t

^{= a} ₀ ^{+ a} ₁^{t + a} ₂ ^t

^+...+a _n ^t

Здесь a₀; a₁; a₂; … a_n – параметры полиномов, t – условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют кон- кретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, например, параметр a₀ характеризует средние условия развития ряда динамики, параметр a₁ – скорость роста, па- раметр a₂ – ускорение роста, параметр а₃ – изменение ускорения.

Оценка параметров в моделях (9.24) находится методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в определении таких параметров (коэффициентов), при ко- торых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

p

_{n 2}

∑ ^{(yt − yt )}

^{t =1}

→ min

(9.25.)

p

где y_t – фактическое значение уровня ряда динамики; y_t

_{ряда динамики.}

– расчетное значение; n – длина

В результате минимизации выражения (9.25) получается система нормальных уравнений:

^_na0

_

^{+ a}1 ∑ ^{t + a}2

∑ ^{t 2 + ... + a}

∑ ^{t p =} ∑ ^y

1

2

_a₀

_

^{∑ t + a ∑ t 2 + a}

^{∑ t 3 + ... + a}

^{∑ t p +1 = ∑ yt}

2 p

(9.26.)



_^{LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL}

p

_^a_{0 ∑} ^t

^{+ a}_{1 ∑} ^t

p +1

^{+ a}_{2 ∑} ^t

p +2

^{+ ... + a} _{p ∑} ^t

⁼ _∑ ^{yt p}

_{где n – число членов в ряду динамики, t=1,2,...,n}

131

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

_∑ ^y,

Система 9.26, состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин

_∑ ^yt,..., _∑ ^{yt p , то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда,}

умноженные на показатели времени в степени 1,2,...,р и неизвестных величин a_j. Решение этой системы относительно a₀, a₁,...,a_p и дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще.

Обозначим последовательные параметры полиномов как а₀, а₁, а₂. Тогда системы нор-

^{мальных уравнений для оценивания параметров прямой y} _t ^{= a} ₀ ^{+ a} ₁^t

примет вид:

_^{ na} ₀ ^{+ a} _{1 ∑} ^{t =} _∑ ^y

_{ 2}

_(9.27.)

^a _{0 ∑} ^{t + a} _{1 ∑} ^t

⁼ _∑ ^yt

для параболы второго порядка (y_t=a₀+a₁t+a₂t²):

2

^ na ₀ + a _{1 ∑} t + a _{2 ∑} t

_{ 2}

= _∑ y

3

∑ ∑ ∑ ∑

_ a ₀

t + a ₁

t + a ₂ t = yt

(9.28.)

_{ ∑ 2 ∑ 3}

_{∑ 4 ∑ 2}

_^{a 0}

^{t + a} ₁

^{t + a} ₂ ^{t = yt}

2

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины Уt, Уt² и т.д. не зависят от конкретных уровней ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

_∑

_∑

_{t =} ^{n(n + 1)} _;

²

_t ² ₌ ^{n(n + 1)(2n + 1)} _;

⁶

_{∑ t} 3

_n ² _{(n + 1)}²

⁼

_∑

;

⁴

_t ⁴ ₌ ^{n(n + 1)(2n + 1)(3n}

³⁰

^{+ 3n − 1)}

(суммирование по t = 1+n).

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, а так же уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до перено- са начала координат t было равно 1,2,3,...,n, то после переноса:

^{• для нечетного числа уровней ряда t = …; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

^{• для четного числа уровней ряда t = …; -5; -3; -1; 1; 3; 5; …}

Следовательно, Σt и все Σt^p , у которых «р» − нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие Σt с такими степенями, могут быть исключены. Системы

нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:



_{a0 n = ∑ y}

_(9.29.)

2

_a_{1 ∑} t

_{для параболы второго порядка:}

= _∑ ty

^ a₀ n + a₂

_

1

_∑ t ² = _∑ y

_



0

_^_a

2

_∑ t ² + a

^a ∑ ^{t 2 =} ∑ ^ty

_∑ ^{t 4 =} _∑ ^{t 2 y}

(9.30.)

Решая системы (9.29) и (9.30), получим величины параметров соответствующих полиномов.

132

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой (y_t=a₀a₁^t) для определе- ния параметров применяется также метод наименьших квадратов, но только к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

_^_∑ ^{lg y = n lg a}₀ ^{+ lg a}_{1 ∑}^t

_

_{∑t lg y = n lg a ∑t + lg a ∑t} ²

(9.31.)

0 1

^Если _∑^{t = 0 , то параметры уравнения lg a0 и lg a1 находим по формулам:}

_lga

_{= ∑}^l_^{g y} _{; lg a}

_{= ∑} ^{t lg y} _.

⁰ _n ¹

_∑^{t 2}

Пример. Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики числа про-

_{данных квартир в N-ом регионе за 2000-2004 гг.}

_{Таблица исходных и расчетных данных}

Таблица 9.7.

Годы	Число проданных квартир, тыс.ед.	t	t2	yt	yt
A	1	2	3	4	5
2000 2001 2002 2003 2004	108 107 110 111 112	-2 -1 0 +1 +2	4 1 0 1 4	-216 -107 0 +111 +224	107,2 108,4 109,6 110,8 112,0
Итого	548	0	10	+12	548,0

Первые две графы – ряд динамики, подвергаемый выравниванию, дополняются гра- фой 2, в которой показана система отсчета времени «t». Причем эта система выбирается та- ким образом, чтобы Уt = 0. В качестве функции выравнивания выбрано уравнение прямой линии: y _t = a ₀ + a ₁t , параметры данного уравнения находим по упрощенным формулам:

_{∑ y }

^{a0 =}

_

ⁿ _

_{ty }



1

_{a1 =} ^{∑ }

^{∑ t 2} _

_{Затем в графах 3 и 4 проводим необходимые расчеты и находим: Уy = 548;}

Уyt = 12; Уt² = 10. Отсюда a0

₌ ⁵⁴⁸ _{= 109,6 ;}

⁵

_{a =} ¹² _{= 1,2 .}

¹⁰

Уравнение прямой будет иметь вид:

^y_t ^{= 109,6 + 1,2 t.}

На основе этого уравнения находятся выровненные годовые уровни путем подста-

новки в него соответствующих значений «t» (графа 5 таблицы 9.7).

Полученное уравнение показывает, что численность проданных квартир в регионе растет в среднем на 1,2 тысяч единиц в год. Таким образом, величина параметра а₁ в урав-

133

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

нении прямой показывает среднюю величину абсолютного прироста выровненного ряда динамики.

^{Сумма уровней эмпирического ряда (} ∑ ^yi ^{) полностью совпала с суммой расчет-}

^{ных значений выровненного ряда (} ∑ ^yе ^).

Результаты произведенного аналитического выравнивания ряда динамики продан-

_{ных квартир за 2000-2004 гг. и фактические данные отражены на рисунке 9.2}

113

112

111

110

109

108

107

106

105

104

y y1

2000 2001 2002 2003 2004

_годы

Рис. 9.2. Динамика численности проданных квартир в N-ом регионе за 2000-2004 гг.