9.4. Средние показатели в рядах динамики и методы их исчисления

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность m меняющих- ся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Для обоб- щения данных по рядам динамики рассчитываются: средний уровень ряда; средний абсо- лютный прирост; средний темп роста и прироста.

Средний уровень ряда динамики ( y ) рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической

средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в

данном промежутке времени.

_{Средний уровень ряда определяется по-разному для моментных и интервальных}

рядов.

• Для интервальных равноотстоящих рядов средней уровень находится по формуле простой средней арифметической:

_n

∑ ^yi

y = ⁱ⁼¹

ⁿ

(9.14.)

где n – число уровней или длина ряда.

^{• Для интервальных неравноотстоящих рядов средний уровень находится по форму-}

ле взвешенной средней арифметической:

126

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

_n

_∑ ^y_i ^t_i

(9.15.)

n

^{y = i =1}

∑ ^t_i

^{i =1}

где t_i – продолжительность интервалов времени между уровнями (число периодов време-

ни, при которых значение уровня не изменяется).

Пример. В таблице 9.7. приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень числа проданных

квартир за 2000-2004 гг. Он будет равен 347 тыс.ед. ( y = 1735/5), то есть в среднем ежегод-

но число проданных квартир в регионе за 2000-2004 гг. составило полученное значение.

^{• Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по фор-}

^{муле средней хронологической простой:}

^{y1 + y2} ₊ ^{y2 + y3} ₊ ^{y3 + y4} _{+ ... +} ^{yn −1 + yn}

_{y =} ^{2 2 2 2} ₌

^y_{1 + y}

_{+ y + ... + y}

^{n − 1}

_y

₊ ⁿ

^{1 n +} _∑ ^y

^{y + y n −1}

_i

(9.16.)

⁼

₂ ²

3

_{n − 1}

^{n −1}

² или y =

² i = 2

n − 1

^{• Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями оп-}

^{ределяется по формуле средней хронологической взвешенной:}

_{y =} ^{( y1 + y2 )t1 + ( y2 + y3 )t2 + ... + ( yn −1 + yn )tn −1} ₌

^{2(t1 + t2 + ... + tn −1 )}

_{n -1}

∑ ^(y_i ^{+ y}_{i +1} ^)t_i

⁼

i =1

n −1

²∑^ti

^{i =1}

(9.17.)

где t – продолжительность интервала времени между соседними уровнями.

Пример. Покажем расчет среднего уровня моментного ряда динамики с равноот- стоящими уровнями по данным о численности работников фирмы на 1-е число каждого месяца 2004 г. (чел.):

1/I	1/II	1/III	1/IV
347	350	349	351

Среднемесячная численность работников фирмы за 1 квартал (по формуле 9.16)

_{составит:}

_{y =} ^{347 2 + 350 + 349 + 351 2} ₌ ¹⁰⁴⁸ _{≈ 349чел .}

3 3

127

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Пример. Известна списочная численность рабочих организаций на некоторые даты

_{2004 г. (чел.). Ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни во времени:}

1/I	1/III	1/VI	1/IX	1/I-1995
530	570	520	430	550

_{Среднегодовая численность работников за 1994 г. (по формуле 9.17) составит:}

_{y = (530 + 570)2 + (570 + 520)3 + (520 + 430)3 + (430 + 550)4 = 12240 =}

_чел

_{2(2 + 3 + 3 + 4)}

_{510 .}

¹²

Обобщающим показателем абсолютной скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики. Скоростью в данном случае будем называть прирост (уменьшение) в единицу времени. Для его определения используется формула средней арифметической простой:

_∑ ^∆_ц

_{∆ =}

^{n − 1}

(9.18.)

Подставив в числитель выражение для цепных абсолютных приростов, получим более удобную форму записи для среднего абсолютного прироста:

_{y 2 − y1 + y3 − y 2 + ... + (yn − yn − 1 )}

^{∆ = =}

^{n − 1}

yn − y1

n − 1

(9.19.)

^{где y}_n ^{и y}₁ ^{– соответственно конечный и начальный уровни ряда динамики.}

Пример. По данным таблицы 9.7 определим средний абсолютный прирост числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. Он будет равен 1,0 тыс.ед. [(112-108) : 4].

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста. Он показывает, сколько в среднем процентов по- следующий уровень составляет от предыдущего в течение всего периода наблюдения.

Средний темп (коэффициент) роста рассчитывается по формуле средней геометри-

_{ческой из цепных коэффициентов роста:}

^{Tp = n−1 К} _{2 / 1} ^К _{3 / 2} ^...К _{n / n−1} ^{= n−1 ПК} _ц

(9.20.)

Выразив цепные коэффициенты (темпы) роста через соответствующие уровни ря-

_{да, получим:}

_{Tp = n−1} ^y2 _⋅ ^y3 _⋅ ^y4 _{⋅ ⋅ ⋅} ^yn

_y

_{⋅100% = n −1} ⁿ

_⋅100%

_(9.21.)

^y₁ ^y₂ ^y₃

^y_{n −1} ^y₁

Пример. По данным таблицы 9.7 рассчитаем средний темп роста числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. по формуле 9.21:

_{или по формуле:}

^{Tp = 4 0,991⋅1,028 ⋅1,009 ⋅1,009 = 4 1,037 = 1,009}

или 100,9%

_{Tp =} 4 ¹¹²

¹⁰⁸

= ⁴ 1,037 = 1,009

128

или 100,9%

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Когда приходится производить расчет средних темпов роста по периодам различ- ной продолжительности (не равноотстоящие уровни), то используют среднюю геометри- ческую, взвешенную по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:

Tp = ^{∑ t (}К

2 / 1

^)t1

^(К _{3 / 2}

^{)t2 .....(К}

_{n / n −1}

^{)tn −1}

(9.22.)

где t – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо сначала найти средний темп роста, а затем его уменьшить на единицу или на 100%:

_{T np = T p − 100%}

_(9.23.)

Пример. По данным таблицы 9.7 был рассчитан средний темп роста числа продан-

ных квартир за 2000-2004 гг. равный 100,9%, отсюда средний темп прироста будет равен:

_{T p = 100,9% − 100% = 0,9%.}