8.7. Ранговые коэффициенты связи

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к раз- личным условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными призна- ками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование – это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполня- ется на основе предпочтения. Ранг – это порядковый номер значений признака, располо- женных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической из соответствующих номеров мест, которые они определяют. Данные ранги называются связными.

_{Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение}

^ρ

_{имеют ранговые коэффициенты Спирмена (}

xy

^{) и Кендалла (}τ _xy ^{). Эти коэффициенты мо-}

гут быть использованы для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками (рейтинги, уровни образования, квалификации и т.п.).

115

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле:

_{ρ xy = 1 −}

⁶_∑ ^{d 2}

₂

i

_(8.18.)

n (n

− 1)

i

где d ²

– квадраты разности рангов;

n – число наблюдений (число пар рангов).

^{Коэффициент Спирмена принимает значения в интервале [−1; 1] .}

Пример.

По данным о прибыли и объеме кредитных вложений 10 коммерческих банков од- ного из регионов Российской Федерации на 01.01.2004 г. определить с помощью коэффи- циента Спирмена зависимость между этими признаками.

_{Расчет коэффициента Спирмена}

Таблица 8.13.

№ банка	Кредитные вложения, млн. руб., X	Прибыль, млн. руб., Y	Ранги		Разность рангов d i = Rx − R y	d 2 i
			R x	R y
1	2	3	8	9	10	11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	2887 1710 3010 2472 2535 1897 2783 1862 1800 2003	557 605 628 488 418 397 501 589 269 437	9 1 10 6 7 4 8 3 2 5	7 9 10 5 3 2 6 8 1 4	2 -8 0 1 4 2 2 -5 1 1	4 64 0 1 16 4 4 25 1 1
Итого	-	-	-	-	-	120

ρ _{x y} = 1 −

^{6 ⋅120}

10 ⋅ 99

₇₂₀

^{= 1 − = 0,3 (связь слабая).}

⁹⁹⁰

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (_{τ xy} ) также может использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, харак-

теризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет ранго-

вого коэффициента Кендалла осуществляется по формуле:

_2S

_{где n – число наблюдений;}

τ =

^{n (n − 1)}

(8.19.)

S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

116

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1. Значения X ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2. Значения Y располагаются в порядке, соответствующем значениям X ;

3. Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, пре- вышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяется величина P , как ме- ра соответствия последовательностей рангов по X и Y и учитывается со знаком (+);

4. Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов,

меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со зна-

ком (–);

5. Определяется сумма баллов по всем членам ряда.

В приведенном примере (таблица 8.11)

P = 1 + 8 + 1 + 6 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 = 29

Q = (−8) + 0 + (−6) + 0 + (−1) + (−1) + 0 + 0 + 0 = −16

_{Таким образом:}

_{τ =} ^{2 ⋅ (29 −16)} _{= 0,28}

^{10 ⋅ (10 − 1)}

что свидетельствует о практическом отсутствии связи между рассматриваемыми призна-

ками по данной совокупности коммерческих банков.

Как правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. При доста- точно большом объеме совокупности значения данных коэффициентов имеют следую- щую зависимость:

_{τ =} ²

³

^ρ x y

Связь между признаками признается статистически значимой, если значения коэф-

фициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных при- знаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W , который вычисляется по формуле:

_{W =} ^12S

^{m 2 ⋅ (n 3 − n)}

(8.19)

где m – количество факторов

n – число наблюдений

_{S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.}

117

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Пример.

Определим тесноту связи между объемом реализованной продукции, прибылью и численностью работающих по 10 предприятиям отрасли.

Таблица 8.14.

_{Расчет коэффициента конкордации}

№ предприя- тия	Уставной капитал, млн. руб., X	Число выстав- ленных акций, Y	Число занятых на предприятиях, Z	R	R y	R	Сумма строк	Квадраты сумм
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3069 1720 4217 2465 2740 1910 2928 1866 1815 2379	871 945 1578 697 631 510 830 873 482 676	320 326 333 342 351 366 379 382 402 405	9 1 10 6 7 4 8 3 2 5	7 9 10 5 3 2 6 8 1 4	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	17 12 23 15 15 12 21 19 12 19	289 144 529 225 225 144 441 361 144 361
Итого	-	-	-	-	-	-	165	2863

x Z

2

_{S = 2863 −} ⁽¹⁶⁵⁾

¹⁰

= 2863 − 2722,5 = 140,5

_{W =} ^12S

^{m 2 (n 3 − n)}

₌ ^{12 ⋅140,5}

^{9(1000 − 10)}

= 0,19 ,

что свидетельствует о слабой связи между рассматриваемыми признаками.

Ранговые коэффициенты Спирмена, Кендалла и конкордации имеют то преимуще- ство, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между количественными так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.

118

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}