8.4. Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи

Измерение тесноты (силы) и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака и одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных зависимостей) факторных признаков.

Линейный коэффициент корреляции (К. Пирсона) характеризует тесноту и на- правление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации фор-

_{мулы расчета данного коэффициента:}

_{r =} ^{xy − x ⋅ y}

^σ x ^{⋅ σ} y

106

(8.4.)

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэф-

фициент корреляции можно вычислить по формуле:

_{n∑ xy − ∑ x∑ y}

r =

[n_∑ x ² − ⁽_∑ x⁾² ]⋅ [n_∑ y ² −⁽_∑ y ⁾² ]

(8.5.)

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии суще-

_{ствует определенная зависимость, выражаемая формулой:}

x

i

σ

^{r = a}_i

^σ

y

(8.6.)

^{где a}_i ^{– коэффициент регрессии в уравнении связи;}

x

σ – среднее квадратическое отклонение соответствующего, статистически суще-

ⁱ

ственного, факторного признака.

^{Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: [ −1 ≤ r ≤ 1].}

^{Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию вы-}

ходных значений коэффициента корреляции можно осуществлять следующим образом

_{(табл. 8.6).}

_{Оценка линейного коэффициента корреляции}

Таблица 8.6.

Значение линейного коэффициента связи	Характеристика связи	Интерпретация связи
r = 0	отсутствует	-
0<r<1	прямая	с увеличением x увеличивается y
-1<r<0	обратная	с увеличением x уменьшается y и наоборот
r=1	функциональная	каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение резуль- тативного признака

Пример.

На основе выборочных данных о деятельности 6 предприятий одной из отраслей про- мышленности Российской Федерации оценить тесноту связи между трудоемкостью про- дукции предприятия (X, чел.-час.) и объемом ее производства (Y, млн. руб.)

Таблица 8.7.

_{Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции}

№ п/п	Объем произве- денной продук- ции, млн. руб., Y	Затраты на 100 изделий, чел.-час, X	yx	2 y	2 x
1 2 3 4 5 6	221 1070 1001 606 779 789	96 77 77 89 82 81	21216 82390 77077 53934 63878 63909	48841 1144900 1002000 367236 606841 622520	9216 5929 5929 7921 6724 6561
Сумма	4466	502	362404	3792338	42280
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

107

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

_{1. Используя формулу (8.4), получаем:}

_{2 2 2 2}

^σ _y ^{= y}

^{− ( y )}

^{= 632056,3 − (744,3)}

^{= 78029,3}

_{2 2 2 2}

^σ _x ^{= x}

^{− (x )}

^{= 7046,67 − (83,67)}

^{= 46}

_{r =} ^{60400,67 − 744,33 ⋅ 83,67} _{= −0,98}

^{78029,3 ⋅ 46}

_{2. По формуле (8.5) значение коэффициента корреляции составило:}

_{r =} ^{6 ⋅ 362404 − 4466 ⋅ 502} ₌

^{[6 ⋅ 42280 − (502) 2 ]⋅ [6 ⋅ 3792338 − (4466) 2 ]}

₌ ^{2174424 − 2241932} ₌

^{(253680 − 252004) ⋅ (22754028 −19945156)}

₌ ⁻⁶⁷⁵⁰⁸

^{1676 ⋅ 2808872}

₌ ⁻⁶⁷⁵⁰⁸

^68612,46

= −0,98

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.

В случае наличия линейной или нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группиров- ки, когда δ ² характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:

2

2

_σ ² _{− σ} ²

^{η =} _σ ^{2 =}

_{1 −} ^σ ₌ ^δ

^{σ 2 σ 2}

(8.7.)

_{где η – корреляционное отношение;}

^{σ 2 – общая дисперсия;}

^{σ 2 – средняя из частных (групповых) дисперсий;}

δ ² – межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).

Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.

_{Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:}

_δ ²

^{η =} _σ ^{2 =}

2

^σ

_{1 −} ^ост

^{σ 2}

(8.8.)

^{где δ 2 – дисперсия выровненных значений результативного признака, то есть рассчи-}

^{танных по уравнению регрессии;}

^{σ 2 – дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака;}

₂

^σ _ост

– остаточная дисперсия.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0 ≤ η ≤ 1).

108

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляется множествен- ный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между ка- ждой парой факторных признаков.

yx

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычис-

_{ляется по формуле:}

^Ry / x₁x₂ ⁼

2

r

yx₁

2

+ r

yx₂

− 2r_yx

1

x x

2

1 − r ²

^{1 2}

⋅ r ⋅ r

x x

^{1 2}

(8.9.)

i

где r_yx

– парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 ≤ R ≤ 1. Приближение R к единице свидетельствует о силь- ной зависимости между признаками.

_{На основе данных таблицы 8.4 рассчитаем коэффициент множественной корреляции:}

1

2

_{r =} ^yx₁ ^{− y ⋅ x}_{1 = 0,748 , r}

₌ ^yx₂ ^{− y ⋅ x}₂

_{= 0,983 ;}

^yx₁

^σ _y ^{⋅ σ} _x

^yx₂

^σ _y ^{⋅ σ} _x

_{r = x1 x2− x1* x2 = 0,817.}

.

x₁ ^{x 2}

^σ _x1 ^σ _x2

_{Множественный коэффициент корреляции составит:}

2

_{R =} ^{− 0,748}

^{+ 0,9832}

^{− 2 ⋅ 0,748 ⋅ 0,983 ⋅ 0,817} _{= 0,975.}

^{y / x}₁ ^x₂

1 − 0,817 ²

_{Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи меж-}

^{ду двумя признаками x}₁ ^{и x} ₂ ^{при фиксированном значении других} (^{k − 2})

факторных

признаков, то есть когда влияние x ₃ исключается, то есть оценивается связь между x₁ и

x ₂ в «чистом виде».

В случае зависимости y от двух факторных признаков x₁ и x ₂ коэффициенты ча-

_{стной корреляции имеют вид:}

_{ryx x}

_ryx

_{− rx x}

_{⋅ ryx}

₁ / ₂ ⁼

₍^{1 −}

1 1 2 2

_{x y} ^{) (} _{x x}

r² ⋅ 1 − r²

⁾

^{2 1 2}

_{ryx 2 / x1 =}

^ryx

− r ⋅ r

x y x x

^{2 1 1 2}

2 2

_(8.10.)

^{(1 − rx1 y )⋅ (1 − rx1x 2 )}

где r – парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака x ₂ , во втором – x₁ .

На основании приведенных выше данных о зависимости трех факторов деятельно-

_{сти предприятий вычислим частные коэффициенты корреляции (табл. 8.4):}

109

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

_{r =} ^{0,748 − 0,817 ⋅ 0,983}

1 2

_{= −0,517}

^yx₁ ^{/ x}₂

^{(1 − 0,9832 )⋅}

^{(1 − 0,8172 )}

2 1

^ryx / x

^{= 0,972 ; r}_{x x / y}

^{= 0,668.}