8.2. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Парная регрессия позволяет получить аналитическое выражение связи между двумя признаками: результативным и факторным.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако су- ществуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной

101

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

связи – гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или сте- пенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии (a₀, a₁, и a₂ – в уравнении параболы вто- рого порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели (a₀, a₁), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полу- ченных по выбранному уравнению регрессии:

_n

^{S =} _∑ ^{( у}_i

^{− y}_x

)² → min

i =1

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной рег-

_{рессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:}

_{ n n}

i

_ ^na₀ ^{+ a}_{1 ∑ xi} ⁼ _{∑ y}

^{i =1}

_{n n}

^{i =1}

_n

2

(8.3.)

^_{a0 ∑ xi + a1 ∑ xi = ∑ xi y}



i =1

i =1

i i =1

где n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнениях регрессии параметр a₀ показывает усредненное влияние на результа- тивный признак неучтенных в уравнении факторных признаков. Коэффициент регрессии a₁ показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения.

Пример.

Имеются следующие данные о размере страховой суммы и страховых возмещений на автотранспортные средства одной из страховых компаний г. Москвы на 01.01.2004 г.

Таблица 8.2.

Зависимость между размером страховых возмещений и страховой суммой на автотранспорт одной из страховых компаний г. Москвы на 01.01.2004 г.

№ автомобиля в регистре	Объем страхового возмещения (тыс. долл. США), Yi	Стоимость застрахованного автомобиля (тыс. долл. США), Xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,1 1,3 0,1 2,6 0,1 0,3 4,6 0,3 0,4 7,3	8,8 9,4 10,0 10,6 11,0 11,9 12,7 13,5 15,5 16,7
Итого	17,1	120,1

_{Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.}

102

_{СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ}

Построим расчетную таблицу для определения параметров линейного уравнения регрессии объема страхового возмещения (табл. 8.3).

Таблица 8.3.

_{Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии}

№ автомоби- ля в регистре	Объем страхового возмещения (тыс. долл. США), Yi	Стоимость застрахованного автомобиля (тыс. долл. США), Xi	x2	xy	yx
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,1 1,3 0,1 2,6 0,1 0,3 4,6 0,3 0,4 7,3	8,8 9,4 10,0 10,6 11,0 11,9 12,7 13,5 15,5 16,7	77,44 88,36 100,00 112,36 121,00 141,61 161,29 182,25 240,25 278,89	0,88 12,22 1,00 27,56 1,10 3,57 58,42 4,05 6,20 121,91	0,052 0,362 0,672 0,982 1,188 1,653 2,066 2,479 3,513 4,133
Итого	17,1	120,1	1503,45	236,91	17,100

_{Система нормальных уравнений для данного примера имеет вид:}

_ 10a₀ + 120,1a₁ = 17,1

_

_^120,1a₀ ^{+ 1503,45a}₁ ^{= 236,91}

Отсюда: a₀ = -4,4944; a₁ = 0,5166.

Следовательно, y_x =-4,4944+0,5166 х.

Значения y_x в таблице 8.3 получены путем подстановки значений факторного при-

знака хi (стоимость застрахованного автомобиля) в уравнение регрессии

y_x =-4,4944+0,5166 х.

Коэффициент регрессии a₁ = 0,5166 означает, что при увеличении стоимости за- страхованного автомобиля на 1 тыс. долл. США, объем страхового возмещения (тыс. долл. США) возрастет в среднем на 0,5166 тыс. долл. США.