Глава 6. Анализ вариации

6.1. Основные показатели вариации

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недоста- точной для полного анализа изучаемого процесса или явления. Иногда совершенно непо- хожие по своему внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние вели- чины. Поэтому для более детального изучения того или иного явления необходимо учи- тывать разброс или вариацию значений отдельных единиц совокупности. Измерение ва- риации признаков имеет как теоретическое, так и практическое значение.

Так, например, для выявления наиболее стабильно работающего коллектива или предприятия наравне с другими показателями рассчитывают и основные показатели ва- риации. Эти показатели дают возможность количественно определить размеры устойчи- вости производительности труда, уровня квалификации, цен на основные виды выпускае- мой продукции и т.п. Измерение размеров вариации такого показателя, как «выполнение работ в срок» имеет важное значение для принятия решений заказчиками и инвесторами, т.к. ситуация, в которой присутствует изменчивость признака, часто содержит риск. Осо- бое значение показатели вариации приобретают в анализе рынка ценных бумаг, где мера колеблемости отождествляется с мерой рискованности вложения денежных средств.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются:

– размах,

– дисперсия,

– среднее квадратическое отклонение,

– коэффициент вариации.

_{Для иллюстрации расчетов этих показателей воспользуемся следующими данными:}

Имеются данные о продаже основных марок холодильников:

_{Таблица.6.1.}

Модель	Цена ( $ )	Объем продаж (шт.)
Siemens	1000	30
Bosch	800	26
AEG Santo	900	24
Miele KF	1200	30
Gorenje	870	20
Haier	570	23
Samsung	760	30
Zanussi	700	20
Daewoo	460	20
Beko	650	25
Candy	480	20
Whirpool	470	21

Простейшим показателем, уже использованным выше при группировке данных, является размах вариации. Он представляет собой разность максимального и минималь- ного значений признака:

R = X max – X min

_{R = 1200 – 460 = 740 $}

77

_{АНАЛИЗ ВАРИАЦИИ}

Этот показатель служит незаменимой мерой разброса экстремальных значений признака. Кроме характеристики границ разброса признака, размах вариации может быть использован для выявления ошибок. При наличии очень больших (или очень малых) оши- бочно записанных значений признака размах вариации сразу резко возрастает, что требует проверки и корректировки исходных данных.

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирующего признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Вследствие этого размах вариации может неправильно характеризовать общую колеблемость признака.

Этого недостатка лишен другой показатель – дисперсия, рассчитываемый как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Между индиви- дуальными отклонениями от средней и колеблемостью признака существует прямая зави- симость: чем сильнее колеблемость признака, тем больше отклонения его значений от средней величины и менее устойчив изучаемый показатель.

Как и средняя величина этот показатель может быть рассчитан в двух формах:

_{взвешенной и невзвешенной:}

_σ ² ₌

2

_∑( х_I − х)

_{невзвешенная форма}

n

_σ ² ₌ ^{∑( хI}

i

− х)² f

_{взвешенная форма}

(6.1.)

где:

^{∑ f}_i

^x_i ^{– отдельные значения признака}

_{x – общая средняя}

^f_i ^{– вес варианта признака в общей совокупности.}

По приведенным выше данным определим средневзвешенную цену холодильника и рас-

_{считаем дисперсию:}

_{х =} ^{1000x30 + 800 x26 + 900 x24 + ... + 470x21} _{= 763$}

^{30 + 26 + 24 + ... + 21}

2

_σ ² ₌ ^{(1000 − 763)30 + (800 − 763)26 + ... + (470 − 763)21} _{= 73500,12}

^{30 + 26 + 24 + ... + 20 + 21}

_{Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле:}

σ ² =

х ² − ( х ) , т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов индивидуальных

значений признака и квадратом средней величины.

_{Эту формулу можно представить иначе:}

2

_{х 2  х }

_{σ 2 =}

_{∑ i}

_{−  ∑ i }

_{– невзвешенная форма}

_σ ² ₌

n

i

_∑^{х2 f}

_{ }

n

^{ }

₂

_{ х f }

_ ⁱ _

ⁱ ₋ ^∑

 

_{– взвешенная форма}

(6.2.)

^{∑ fi}

^{ ∑ fi }

78

_{АНАЛИЗ ВАРИАЦИИ}

Следует отметить, что дисперсия еще не дает представления об однородности со- вокупности, и этому показателю трудно дать экономическую интерпретацию, т.к. он рас- считан в квадратных единицах. Поэтому следующим шагом в исследовании однородности совокупности является расчет среднего квадратического отклонения, показывающего, на- сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность что и изучаемый признак:

₂

_{х − х}

_∑ ⁽ _i ⁾

_{σ = – невзвешенная форма}

n

₂

_{х − х f}

_∑ ⁽ _i ⁾ _i

_{σ = – взвешенная форма}

(6.3.)

^{∑ f}i

_{В нашем примере среднее квадратическое отклонение равно:}

_{σ = 73500,12 = 271,1 $.}

Таким образом, цена каждой марки холодильника отклоняется от средней цены в среднем на 271,1$

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации признака. Однако для сравнения разных совокупностей с точки зрения устойчивости ка- кого-либо одного признака или для определения однородности совокупности рассчиты- вают относительные показатели.

Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейно- го отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего эти показатели выражаются в процентах.

^{Коэффициент осцилляции ( V} _r ^):

^V _r =

^R _100%

x

(6.4.)

_{Линейный коэффициент вариации ( V ):}

^d

_{V =} ^d _100%

_(6.5.)

^d _x

_{Наиболее распространенным показателем является коэффициент вариации:}

_σ

_{V =} ^σ _{x100 %}

х

(6.6.)

_{Определим значение этого показателя по данным таблицы 1:}

_271,1

V_σ = х100% = 35,5%

⁷⁶³

Рассчитанная величина свидетельствует о неоднородности цен на холодильники, т.к. однородной совокупность считается, если коэффициент вариации меньше 33% (для распределений близких к нормальному).

Следует отметить, что коэффициент вариации может быть более 100%, что, в част- ности, может быть при наличии значений сильно отличающихся от средней величины. Такой результат означает, что в исследуемой совокупности сильна вариация признаков по отношению к средней величине.

79

_{АНАЛИЗ ВАРИАЦИИ}

Если исследуется вариация альтернативных признаков, т.е.признаков, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие – нет, то дисперсия альтернативного при- знака определяется по формуле:

_где:

_σ ² ₌

^pq , ^(6.7.)

p – доля единиц, обладающих данным признаком,

q – доля единиц не обладающих данным признаком.

Максимальное значение дисперсии доли равно 0,25 (когда p=q=0,5).

Информативность показателей вариации повышается, если они рассчитываются для целей сравнительного анализа. При этом показатели рассчитанные по одной совокуп- ности сопоставляются с показателями, рассчитанными по другой аналогичной совокупно- сти или по той же самой, но относящейся к другому периоду времени. Например, иссле- дуется динамика вариации на товары длительного пользования по месячным или ежегод- ным данным в одном и том же торговом предприятии или за один и тот же период време- ни, но по разным регионам.