5.4. Структурные средние

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средни- ми являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, прихо- дящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

_∑ ^x_i ^{− M}_e

= min

_{Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным.}

73

_{АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ}

Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оп-

товым ценам (тыс. руб.).

4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6

Так как чаще всего встречается цена 4,3 тыс.руб., то она и будет модальной.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

4,2 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 4,6 4,6

Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс.руб., следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана оп- ределяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения при- знака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчи- няющейся нормальном закону распределения совокупности. Она также используется в тех случаях, когда средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния максимальных и минимальных значений. Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим примером.

Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 1000 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 долл.:

№ п/п 1 2 3 4 ... 50 51 ... 99 100

Доход 100 104 104 107 ... 162 164 ... 200 50000 (долл.)

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, рав- ный примерно 600-700 долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, рав- ная в данном случае 163 долл., позволит дать объективную характеристику уровня дохо- дов 99% данной совокупности людей.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий
52	12
53	48
54	56
55	60
56	14
Всего	190

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда – наибольшую частоту (60 предп.) имеет цена 55 руб., следовательно она и является модальной.

74

_{АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ}

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

где n – объем совокупности.

N _me =

_{190 +1}

^{n +1} _(5.16.)

²

^{В нашем случае N me =} ₂

= 95, 5 .

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-ое и 96-ое предприятия находятся в третьей группе (12+48+56=116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

M

_{М = х}

_{+ i ×}

_{(f − f}

M

o o

^{o o}

o

−1 ⁾

_(5.17.)

M

^{о о} _(f

o

^{− f}_{M −1} ^{) + (f}_M

^{− f}_{M +1} ⁾

где Хо - нижняя граница модального интервала (модальным назы-

вается интервал, имеющий наибольшую частоту);

i - величина модального интервала;

f_Мо - частота модального интервала;

^f_Мо-1 ^{- частота интервала, предшествующего модальному;}

^f_Мо+1 ^{- частота интервала, следующего за модальным.}

и

M _e = x ₀

_{∑ i M}

¹ _{f − s}

_{+ i ×} ^{2 e−1}

_f

(5.18.)

^M _e

где	Хо	- нижняя граница медианного интервала (медианным назы-
		вается первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
	i	- величина медианного интервала:

^S_me-1 ^{- накопленная частота интервала, предшествующего}

медианному;

f_Me - частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 5.7.

Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода цено- образования и обоснования окончательной цены на товар.

75

_{АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ}

Таблица 5.7.

_{Распределение населения региона по уровню среднедушевого денежного дохода}

Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), руб.	Удельный вес населения, %
400 и менее	2,4
400 – 500	15,4
500 – 600	20,1
600 -700	17,2
700 – 800	12,8
800 – 900	9,2
900 – 1000	6,5
1000 – 1100	4,5
1100 – 1200	3,2
1200 – 1300	2,3
свыше 1300	6,4
Всего	100,0

Интервал с границами 500 – 600 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Используя формулу (5.17), определим моду:

М ₀ = 500 + 100 ×

20,1 − 15,4

(20,1 − 15,4) + (20,1 − 17,2)

= 562 руб.

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную час- тоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы нако- пленных частот (в нашем случае – 50%):

Интервал	Накопленная частота, %
400 и менее	2,4
400 – 500	17,8
500 – 600	37,9
600 – 700	55,1

Мы определили, что медианным является интервал с границами 600 – 700. Опреде-

_{лим медиану:}

M = 600 + 100 × ^{50,0 − 37,9} = 670 руб. ^e 17,2

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если М_о<M_e< Х – имеет место правосторонняя асимметрия, при Х <M_e <М_о следует сделать вы-

вод о левосторонней асимметрии ряда.

На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 560 руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 670 руб. при среднем уровне 735 руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределе- ния населения по уровню среднедушевых денежных доходов, что позволяет предполагать о достаточной емкости рынка дорогих товаров повышенного качества и товаров престиж- ной группы.

76

_{АНАЛИЗ ВАРИАЦИИ}