Себестоимость продукции «z»

Предприятие	Себестоимость единицы продукции, руб.
1 2	37 39

Можно ли по имеющимся данным определить среднюю себестоимость данной продукции по двум предприятиям, вместе взятым? Можно, но только в том случае, когда объемы производства данной продукции на двух предприятиях совпадают. Тогда средняя себестоимость составит 38,0 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже). Однако на первом предприятии за рассматриваемый период может быть произведено, к примеру, 50 единиц продукции, а на втором – 700 единиц. Тогда для расчета средней се- бестоимости потребуется уже средняя арифметическая взвешенная:

_{х =} ^{37 × 50 + 39 × 700} _{= 38,9руб.}

^{50 + 700}

68

_{АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ}

Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их ра- венство.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следую- щий пример:

_{Распределение сотрудников предприятия по возрасту}

Таблица 5.5.

Возраст (лет)	Число сотрудников (чел.)
до 25 25-30 30-40 40-50 50-60 60 и более	8 32 68 49 21 3
Итого:	181

Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интер- валов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно прирав- ниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

22, 5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст ра-

ботников данного предприятия:

_{х =} ^{22,5 × 8 + 27,5 × 32 + 35 × 68 + 45 × 49 + 55 × 21 + 65 × 3} _{= 38,6 года.}

8 + 32 + 68 + 49 + 21 + 3

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некото- рыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

^x_∑ ^f _i ⁼ _∑ ^x _i ^f _i

(5.6.)

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета средне- го курса продажи акций (табл. 5.1.), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут несколько отличать- ся):

_{417,03 × 1850 = 420 × 700 + 440 × 200 + 410 × 950}

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметиче-

_{ской равна нулю:}

_{Для нашего примера:}

∑ ^(x _i ^{− x)f}_i ^{= 0 (5.7.)}

(420–417,03) × 700 + (440–417,03) × 200 + (410–417,03) × 950 ≈ 0

69

_{АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ}

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

∑ ^(x i ^{− x)f}i ⁼ ∑ ^x i ^fi ⁻ ∑ ^xfi ⁼ ∑ ^x i ^fi ^{− x}∑ ^fi ^{= 0}

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произ- вольной величины С:

_{2 2 2}

_∑ ^(x_i ^{− C) f}_i ⁼ _∑ ^(x_i ^{− x + x − C) f}_i ⁼ _∑^[(x_i ^{− x) + ( x − C)]}

^f_i ⁼

_{= ∑[(xi − x)}

_{+ 2(xi − x)( x − C) + ( x − C)}

_{]fi = ∑ (xi − x)}

_{fi +}

2 2 2

_(5.8.)

2 2

^{+2( x − C)}_∑ ^(x_i ^{− x)f}_i ⁺ _∑ ^{( x − C) f}_i ⁼ _∑ ^(x_i ^{− x)}

^f_i ⁺

2

^{+2( x − C) ⋅ 0 +} _∑ ^{( x − C) f}_i

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

_∑

2 2

i

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, пред-

_{ставляющих собой характеристики вариационного ряда при С = х :} ¹

_{µ k =}

^∑(x i

i

_{− x)} ^k _f

_,

∑ ^f_i

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же вели- чину:

_{∑ i i}

_{∑i i}

=

_{∑ i}

±

= x ± A

(5.9.)

(x ± A)f

x f Af

^{∑ fi}

^{∑ fi}

^{∑ fi}

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 15 руб., то средний курс также увеличится на 15 руб.:

_{x =} ^{435 × 700 + 455 × 200 + 425 × 950} _{= 417,03 + 15 = 432,03 руб.}

¹⁸⁵⁰

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

i

_∑ ^xi _f

¹ _{∑ xifi}

_{A = A =} ¹ _x

_(5.10.)

_∑ ^fi

_∑ ^{fi A}

¹ При С=0 получают начальные моменты (начальный момент 1-го порядка – средняя арифметическая и т.д.).

70

_{АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ}

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 2 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 100%:

_{x =} ^{420 × 2 × 700 + 440 × 2 × 200 + 410 × 2 × 950} _{= 417,03 × 2 = 834,06 руб.}

¹⁸⁵⁰

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

i

_{∑ xi} ^f

¹ _{∑ xifi}

A ₌ A _{= x}

_(5.11.)

_∑ ^fi

¹ _{∑ fi}

A A

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитывать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

_{х =} ^{420 × 7 + 440 × 2 + 410 × 9,5} ₌ ⁷⁷¹⁵ _{= 417,03 руб.}

7 + 2 + 9,5

18,5

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между со- бой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической не- взвешенной приведут к одному и тому же результату.

Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае, в зависимо- сти от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель ис- ходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе:

Таблица 5.6.