Завдання №7 тема: формула повної ймовірності, формула бейеса.

1. Для участі в студентських відбіркових змаганнях виділені з першої групи курсу - 4, з другої - 6, з третьої групи - 5 студентів. Ймовірність того, що студент першої, другої і третьої групи потрапить в збірну інституту, відповідно дорівнює 0,9; 0,7 і 0,8. Навмання вибраний студент у результаті змагання потрапив в збірну. До якої з груп найімовірніше належить цей студент?

2. У портфелі цінних паперів міститься 12 акцій, випущених на підприємстві №1, 20 акцій - на підприємстві №2 і 18 акцій - на підприємстві №3. Ймовірність того, що по акціях, випущених підприємством №1, своєчасно виплачуються дивіденди, дорівнює 0,9; для акцій, випущених на підприємствах №2 і №3, ця ймовірність відповідно дорівнює 0,6 і 0,9. Знайти ймовірність того, що витягнута навмання акція виявиться акцією, по якій своєчасно виплачуються дивіденди, (проста акція - акція, по якій можуть не виплачуватися дивіденди; привілейована акція - акція, по якій обов'язково виплачуються дивіденди).

3. У банк поступило 10 заяв з проханням про видачу кредиту від 10 підприємств, при цьому до чотирьох із заяв прикладений кошторис використовування засобів. Ймовірність того, що підприємство одержить кредит, надавши і заяву і кошторис, рівна 0,95; для підприємства, що надало тільки заява, ця ймовірність рівна 0,8. Одне з підприємств одержало кредит. Що вірогідніше: це було підприємство, що надало і заяву, і кошторис, або підприємство, що надало тільки заява?

4. Досліджується група підприємств, що терплять збитки. Нестійке фінансове положення в середньому 50% підприємств було викликано низькою рентабельністю, 30% підприємств - низкою фондоотдачей і 20% підприємств - низькою продуктивністю праці. Ймовірність підвищення фінансової стійкості підприємств при підвищенні рентабельності рівна 0,7; при підвищенні фондовіддачі і продуктивності праці ця ймовірність відповідно рівна 0,8 і 0,9. Підприємство, якому були надані відповідні допомоги, підвищило свій рівень фінансової стійкості. Знайти ймовірність того, що це було підприємство з низьким рівнем рентабельності.

5. У першому портфелі цінних паперів міститься 10 акцій, з них 8 привілейованих, в другому - 20 акцій, з них 4 привілейованих. З кожного портфеля навмання витягується по одній акції, а потім з цих двох акцій навмання узята одна, знайти ймовірність того, що була узята привілейована акція.

6. Дві з трьох незалежно працюючих страхових компаній збанкрутіли. Знайти ймовірність того, що розорилися перша і друга компанії, якщо ймовірність банкрутства першої, другої і третьої страхових компаній відповідно рівна 0,2; 0,4 і 0,3.

7. У кожному з трьох портфелів цінних паперів знаходиться 6 акцій і 4 облігації. З першого портфеля навмання витягнули один цінний папір і переклали в інший портфель, після чого з другого портфеля навмання витягнули один цінний папір і переклали в третій портфель. Знайти ймовірність того, що цінний папір, навмання витягнутий з третього портфеля, виявиться облігацією.

8. Три бізнесмени подали в банк заяву про видачу кредиту, причому 2 з них кредит одержали. Знайти ймовірність того, що третій бізнесмен одержав кредит, якщо ймовірність отримання кредиту першим, другим і третім бізнесменами відповідно рівні 0,6; 0,5 і 0,4.

9. У банк поступило 3 заяви з проханням про видачу кредиту, причому задоволено було 2 з них. Знайти ймовірність того, що був виданий кредит за першою заявою, якщо ймовірність отримання кредиту за першою, другою і третьою заявою відповідно рівна 0,4; 0,3 і 0.5.

10. Є 3 портфелі цінних паперів по 20 цінних паперів в кожному. Число векселів в першому, другому і третьому портфелях відповідно рівне 20, 15, 10. З навмання вибраного портфеля навмання витягнутий цінний папір, що виявився векселем. Цінний папір повертають в портфель і повторно із того ж портфеля витягують цінний папір, який також виявляється векселем. Знайти ймовірність того, що цінні папери були витягнуті з третього портфеля.

11. У урну, що містить дві кулі, опущена біла куля; кулі добре перемішані. Навмання витягується одна куля. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинний склад куль за кольором.

12. У ящику міститься 12 деталей, виготовлених на заводі № 1; 20 деталей на заводі №2 і 18 деталей на заводі №3. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на заводі №1, відмінної якості, дорівнює 0,9; на заводі №2, відмінної якості, дорівнює 0,6; на заводі №3, відмінної якості 0,9. Знайти ймовірність того, що витягнута навмання деталь виявиться відмінної якості.

13. У кожній з трьох урн міститься 6 чорних і 4 білі кулі. З першої урни витягнута одна куля і перекладена в другу урну; кулі добре перемішані. З другої урни навмання витягнута куля і перекладений і третю урну. Знайти ймовірність того, що куля, навмання витягнута з третьої урни, виявиться білою.

14. З 10 гвинтівок 4 забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець уразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, рівна 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність рівна 0,8. Стрілець вражає мішень з навмання узятої гвинтівки. Що вірогідніше: стрілець стріляв з гвинтівки з оптичним прицілом або без нього?

15. Число вантажних машин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, що проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Ймовірність того, що заправлятиметься вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під'їжджає для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.

16. Виріб перевіряється на стандартність одним з двох товарознавців. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, рана 0,55; до другого - 0,45. Ймовірність того, що стандартний виріб буде визнаний стандартним першим товарознавцем, рівна 0,9, а другим - 0,98. Стандартний виріб при перевірці був визнаний стандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірив другий товарознавець.

17. У спеціалізовану лікарню поступають в середньому 50% хворих із захворюванням К; 30% - із захворюванням Л і 20% хворих із захворюванням М. Ймовірність повного вилікування хвороби К дорівнює 0,7; для хвороб Л і М ймовірністі рівні 0,8 і 0,9. Хворий, поступив в лікарню, був виписаний здоровим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання К.

18. Є три партії деталей по 20 деталей в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно рівні 20; 15; 10. З навмання вибраної партії навмання витягнута деталь, що виявилася стандартною. Деталь повертають в партію і повторно з тієї ж партії навмання витягують деталь, яка теж виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були витягнуті з третьої партії.

19. Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряди потрапили в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала влучення, якщо ймовірність влучення в ціль першою, другою і третьою гарматою дорівнює 0,4; 0,3; 0,5.

20. У портфель цінних паперів, що містить 2 цінні папери, покладена акція. Інспектор навмання витягує 1 цінний папір. Знайти ймовірність того, що витягнутий цінний папір виявиться акцією, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинний склад цінних паперів.

21. Число нерентабельних підприємств, що звернулися в банк за кредитом, відноситься до числа рентабельних підприємств, що звернулися в той же банк, як 3:2. Ймовірність того, що нерентабельне підприємство одержить кредит, дорівнює 0,1; для рентабельного підприємства ця ймовірність дорівнює 0,2. У банк для отримання кредиту звертається підприємство. Знайти ймовірність того, що це нерентабельне підприємство.

22. Податкові розрахунки перевіряються на правильність одним з двох податкових інспекторів. Ймовірність того, що розрахунки потраплять до першого інспектора, дорівнює 0,55; до другого - 0,45. Ймовірність того, що податкові розрахунки будуть визнані правильними першим податковим інспектором, дорівнює 0,9, а другим - 0.91. Правильні розрахунки при перевірці були визнані правильними. Знайти ймовірність того, що розрахунки перевірив другий інспектор.

23. У кожному з трьох портфелів цінних паперів міститься 6 акцій і 4 облігації. З першого портфеля цінних паперів витягнуто 1 цінний папір і перекладено в другий портфель. З другого портфеля навмання витягнутий цінний папір і перекладений в третій портфель. Знайти ймовірність того, що цінний папір, витягнутий навмання з третього портфеля цінних паперів, виявиться акцією.

24. У першому портфелі цінних паперів міститься 10 векселів, з них 8 перевідних; у другому - 20 векселів, з них 4 перевідних. З кожного портфеля навмання витягується по одному векселю, а потім з цих двох векселів навмання узятий один. Знайти ймовірність того, що був узятий перевідний вексель.

25. У першому портфелі цінних паперів міститься 10 облігацій, з них 8 продовжуваних, в другому 20 облігацій, з них 4 продовжуваних. З кожного портфеля навмання витягується по одній облігації, а потім з цих двох облігацій навмання узята одна. Знайти ймовірність того, що була узята продовжувана облігація.

26. Троє потерпілих подали в страхову компанію заяву про виплату страхового відшкодування, причому 2 з них відшкодування одержали. Знайти ймовірність того, що третій потерпілий одержить страхове відшкодування, якщо ймовірність отримання відшкодування за першою, другою і третьою заявою відповідно дорівнює 0,6 ; 0,5 і 0,4.

27. У урну, що містить 5 куль, опущена біла куля, після чого навмання витягнута одна куля. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинний склад куль за кольором.

28. У обчислювальній лабораторії є шість клавішних автоматів і чотири напівавтомати. Ймовірність того, що за час виконання деякого розрахунку автомат не вийде з ладу, дорівнює 0,95; для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,8. Студент виконує розрахунок на навмання вибраній машині. Знайти ймовірність того, що до закінчення розрахунку машина не вийде з ладу.

29. У піраміді п'ять гвинтівок, три з яких забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець уразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде уражена, якщо стрілець зробить один постріл з навмання узятої гвинтівки.

30. 30 Ймовірність того, що під час роботи цифрової електронної машини відбудеться збій в арифметичному пристрої, в оперативній пам'яті, в решті пристроїв, відносяться як 3:2:5. Ймовірності виявлення збоїв в арифметичному пристрої, в оперативній пам'яті і в решті пристроїв відповідно дорівнює 0,8; 0,9; 0,9. Знайти ймовірність того, що виниклий в машині збій буде знайдений.