31,32,33. Парні та непарні функції, їх геометричний зміст, приклади, властивості

Ф-я y=f(x) називаэться парною якшо для будь якого x х Ов функції виконується рівність f(-x)=f(x). Функція y=f(x) назив. Непарною якщо для будь яких x з ОВ функції виконується рівність f(-x) = -f(x)

Якщо f(-x) <> -f(x) , f(x) то ф-я f(x) не є ні парною ні непарною

Оба графіки мають такі властивості:

• якшо ф-я є парною то її графік є симетричний відносно осі координат

парні ф-ї: y=x , y = x^2 , непарні - y=cos(x)

34,35. Періодичні функції та їх властивості. Основний період.

Ф-я y=f(x) називається періодичною якщо існує таке чилсо 0 <> 0 що при будь якому x з оВ ф-ї з числа цій області виконується рівність f(o+0)=f(x-T)=f(x).Число T, число T в цьому випадку називаэться періодом функції f(x)

Будь яка періодична функція має нескінченну множину періодів тому що якщо T- період ф-ї y=f(x) то і число виду kT- період фі-ї k є 2 , k <> 0. На практиці про період нерідко мають на увазі найменший додатній період. Прикладами тригонометричних ф-й y=sin(x) , y=cos(x) э періодичними з основними періодами 2п. f(x)=const є періодчиною і довільне дійсне число є її періодом. головного періоду не має.

Найменший додатній період називається основним періодом.

36. Загальна схема дослідження функцій для побудови графіка.

Область визначення, тобто множина значень аргументу, при яких задана функція	Проекція графіка на вісь Ох.
2.	а) Парність функції   б) Непарність функції	а) Графік симетричний щодо осі Оу. б) Графік симетричний відносно початку координат.
3.	Нулі, тобто точки, у яких функція дорівнює нулю, або інакше розв’язання рівняння	Точки перетину графіка з віссю Ох.
4.	Проміжки постійного знака, тобто проміжки, в яких функція додатна (від’ємна), або інакше розв’язання нерівності   (  )	Відрізки осі Ох, що відповідають точкам графіка, які лежать вище (нижче) осі Ох.
5.	Точки екстремуму, тобто точки, що належать області визначення, у яких функція набуває найбільшого (максимум) або найменшого (мінімум) значення в порівнянні зі значеннями в близьких точках	«Вершини» на графіку функції
6.	Проміжки монотонності, тобто проміжки, в яких функція або зростає, або спадає	Відрізки осі Ох, де графік йде вгору або вниз
7.	Найбільше й найменше значення функції (у порівнянні з усіма можливими на відміну від екстремумів, де порівняння ведеться тільки із близькими точками)	Ординати найвищої й найнижчої точок графіка
8.	Область значень функції, тобто множина чисел, яки містить всі значення функції

Означення первісної. Довести, що не всі функції мають первісні. Теорема Коші

Нехай є один з проміжків [a,b]. Функція f назив первісною для f якшо для всіх x є J ; F’(x)=f(x)+C

. Область визначення - однакові f:I -> R

Якщо ф-я маэ розрив 1 роду то вона не маэ первісної

Доведення: f(x0+) <>f(x0-). Припустимо що F – первісна. Тоді f’’(x0)=f(x0) , f(x0+)=F’(x0+)=F’(x0+)=f(x0) , f(x0-) = F’(x0-) = F’ – (x0) = F’(x0) =f(x0). Наприклад y=sign x не має первісної.

Теорема Коші: якщо функція неперервна на проміжку то вона має первісну.

2.

Якщо ф-я має первісну вона має нескінченну кількість первісних, f- первісна f-> Якщо ф-я має первісну вона має нескінченну кількість первісних, f- первісна f-> c є R : F(x)+C – первісна

F0 (f(x)+c)’ =F’(x)+C’ =f(x)+0=f(x). Навпаки якщо F,G первісні f , існує с є R для всіх x є R: G(x)=f(x)+c

Доведення: (g(x)-f(x))’ = f(x)-f(x) = 0 -> g(x)-f(x)=const.

3. Властивості невизначеного інтеграла:

⌡(a f(x) + g(x)dx = a⌡f(x)dx + ⌡g(x)dx - > д-ння: (a⌡f(x)dx + ⌡g(x)dx)’ = af(x+g(x))

Якщо F(x) – первісна f(x) то 1/aF(ax+b) – первісна f(ax+b)

Д-ння: (1/a*F(ax+b))’ = 1/a*f(ax+b)*a = f(ax+b)

4. Таблиця інтегралів

5. Приклади елементарних функцій, що не мають елементарних первісних

1/ln(x) , x є (1,+inf)

⌡dx/ln(x) , x^alpha , alpha не належить N u {0} , sinx/x , sinx ,

6. Метод підведення під знак диференціала та його обгрунтування.

Технически подведение под знак дифференциала и замена переменной — один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла. Отличие — в оформлении.

Подведение под знак интеграла опирается на  III правило  интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала: