7.Формула Тейлора через диференціали.

Формулу Тейлора

 

можно представить в другом виде, принимая во внимание следующие соображения.        Разность   есть приращение аргумента, то есть дифференциал аргумента:

 

Разность   представляет собой соответствующее приращение функции:

Дифференциал функции   в точке   равен

Дифференциал функции   k-го порядка в точке равен

В этих обозначениях формула Тейлора принимает следующий вид:

8. Формула Маклорена

Рассмотрим многочлен  -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней  , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его  раз по переменной  , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке  :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена   степени  .

9. Формула Тейлора для Многочлена

Рассмотрим многочлен   целой степени n:

Покажем, что коэффициенты этого многочлена можно представить в виде

где   – производные k-го порядка от   в точке  . (Напомним, что   – по определению.)        Очевидно, что  . Найдем производную к-го порядка от многочлена   в точке  . Заметим, что

В точке   единственной отличной от нуля производной к-го порядка является производная от  . При этом   и, таким образом,

 

Эта формула называется формулой Тейлора для многочленов. При   она принимает вид

и называется формулой Маклорена для многочленов. 

10,11,12,13,14 Экспонента: 

• Синус: 

 

• Натуральный логарифм:   для всех 

15. Бином Ньютона

Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n a^{n - 1} b + C²_n a^{n - 2} b² +...+C^k_n a^{n - k} b^k +... + C^{n - 1}_n ab^{n - 1} + Cⁿ_nbⁿ

или (после подстановки выражений C^k_n с учетом формулы C^k_n = C^{n - k}_n):

,

16. Дослдження функції за допомогою похідної

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [a, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку невід’ємна, тобто, f(x)  0.

2) Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на проміжку (а, b), причому f(x) > 0 для a < x < b, то ця функція зростає на відрізку [a, b].

Доведення.

1. Якщо функція f (x) зростає, то f(x + x) > f(x) при x>0 і f(x + x) < f(x) при х<0,

тоді:

2) Нехай f(x)>0 для будь-яких точок х₁ и х₂, що належать відрізку [a, b], причому x₁<x₂.

Тоді за теоремою Лагранжа: f(x₂) – f(x₁) = f()(x₂ – x₁), x₁ <  < x₂

За умовою f()>0, отже, f(x₂) – f(x₁) >0, тобто функція f(x) зростає.

Теорема доведена.

Аналогічно можна зробити висновок про те, що якщо функція f(x) спадає на відрізку [a, b], то f(x)0 на цьому відрізку. Якщо f(x)<0 в проміжку (a, b), то f(x) спадає на відрізку [a, b].

Звичайно, дане твердження справедливе, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційована на інтервалі (a, b).

Доведену вище теорему можна проілюструвати геометрично: