1,2.Перше правило лопіталя

Нехай виконані умови:  1.  функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х₀;  2.  частка цих функцій   в точці х₀ має невизначеність вигляду   або  ;  3.  існує  .  Тоді існує   і виконує рівність:              (1) 

Аналогічно правило Лопіталя застосовується також й у випадку правосторонніх границь та границь взагалі.

3.Друге правило Лопіталя

Теорема 2. (друге правило Лопіталя). Нехай функції і диференційовані на інтервалі (a;b); і на (a;b). Тоді, якщо існує (нескінченна або скінченна) границя , то границя також існує і .

Зауваження, подані до теореми 1, залишаються в силі і для теореми 2.

Трапляється, що для похідних і виконуються умови однієї з теорем, тоді правила Лопіталя можна застосовувати повторно:

.

Відповідно, знаходження називають розкриттям невизначеностей типу або .

Невизначеність , тобто добуток , де , зводиться до вигляду або за формулами

або .

4. Розкритття невизначеностей

 Нехай   і  ,  тоді               (3)  За умовою   при  , тому   при  .  Якщо   не прямує до 0 при  , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.  Якщо   при  , то вираз   має невизначеність  . 

2. Нехай  ,  , тоді   має невизначеність вигляду   при  .  В цьому випадку поступають так: 

3.  Нехай  ,   при  . Тоді   має невизначеність вигляду  .  Позначимо  . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо: 

5. Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано

Існує f’(x0)є R  f-диференційована в т x0  f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0) -> x -> 1/x . Нехай існує f^ n (x0) , тоді f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f^n(x0)/2!*(x+x0)^2 + f^n(x0)/3!(x-x0)^3+…+f^n(x0)/n!(x-x0) + o(x-x0)^n , x ->x0

Д-ння: Tn(x0,…) – многочлен , залишковий член у формы Пеано. Позн g(x) = f(x)-Tn . g(x0)=f(x0) – Tn(x0,xd) = f’(x)-f’(x)f’’(x-x0)-f^n(x-x0)/2! / f^n(x-x0)^n-1 / (n-1)!; g’(x0)=0 . g’’(x)=f’’(x) - f’’(x0)(x-x0 ) -… f^n(x0)/(n-2)! , (x-x0)^n-2

G’’(x0)=0; g^n(x0)=0. G^(n-1)(x) – диф в т. x0 . g^(n-1)(x)=g^(n-1)(x0) + g^n(x0)(x-x0)+o(x-x0) , x->x0

6. Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа

Теорема (формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа)

Якщо функція f

(1) має неперервну похідну порядку n -1 на відрізку [x₀, x],

(2) має похідну порядку n на інтервалі (x₀, x),

то існує точка c  (x₀, x) така, що

а T_x0(x) є многочлен Тейлора порядку n -1.

Формула (*) називається формулою Тейлора з n-им залишковим членом у формі Лагранжа, а вираз

називається n-им залишковим членом у формі Лагранжа.

Зауваження

• Вигляд залишкового члена у формулі Тейлора правильний для інтервалу [x, x₀] (тоді x₀  (x, x₀)).

В обидвох випадках: x₀ > x або x₀ < x залишковий член можна подати простою формулою

Залишкові члени у формі Лагранжа

послабимо припущення:

• Нехай функція   має   похідних у деякому околі точки 

• І   похідних у самій точці 

тоді: